一维随机变量的函数及其分布

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1、2.4一维随机变量的函数及其分布主要内容一维离散型随机变量函数的分布一维连续型随机变量函数的分布在实际中,人们常常对随机变量的函数更感兴趣.如,某商店某种商品的销售量是一个随机变量X,销售该商品的利润Y也是随机变量,它是X的函数g(X)，即Y=g(X).人们往往更加关注利润Y.假设随机变量X的分布已知，如何由X的分布求出Y的分布？1、离散型随机变量函数的分布解：当X取值1，2，5时，Y取对应值5，7，13，而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.于是引例设X求Y=2X+3的概率函数.～一般地，若离散型r.v，

2、X的分布律如果g(xk)中有一些相同的值，把它们做适当的并项即可X～则Y=g(X)～例则Y=X2的分布律为如果,X～Y～练习设随机变量X的分布律为求Y=2X2+1的分布律X-2-101P1/62/61/62/6提示因为Y=2X2+1的分布律为X-2-101Y=2X2+19313P1/62/61/62/6Y139P1/64/61/6接下来我们看连续型随机变量函数的分布密度设随机变量X的密度函数为设Y为X的函数如何确定Y的密度函数？1、通过分布函数定义求解分析：根据分布函数的定义根据分布函数与密度函数的关系关键点：积分区域的确定，定积分的求

3、解求分布函数是关键！分布函数的定义求法例1第一步，求Y的分布函数（1）设随机变量X服从[0，1]上的均匀分布求X2的密度函数（2）（3）第二步，根据分布函数求密度函数联立（1）（2）（3）例2设随机变量X服从标准正态分布求

4、X

5、的密度函数第一步，求Y的分布函数（1）（2）第二步，根据分布函数求密度函数联立（1）（2）如果随机变量的密度函数是一阶单调函数，且具有一阶连续导数，则2、通过公式求解的反函数为的密度函数为例3第一步，条件判断设随机变量X服从参数为(μ,σ2)的正态分布求Y=a+bX的密度函数单调函数一阶连续可导第二步，求反函数及

6、反函数的导数的反函数为反函数的导数第三步，确定X的密度函数第四步，代公式求Y的密度函数结论：正态分布的线性函数仍为正态分布例4第一步，条件判断设随机变量X服从参数为1的指数分布求Y=eX的密度函数单调增加一阶连续可导第二步，求反函数及反函数的导数的反函数为反函数的导数第三步，确定X的密度函数第四步，代公式求Y的密度函数例5设试求Y的分布第一步条件判断y=g(x)是x的非连续函数，显然不满足条件第二步求各点发生的概率进一步考察，Y实际上是一个离散型随机变量，取值只有三个点Y概率-5-1200.160.160.68二、二维离散型随机变量函数

7、的分布设二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布设Z为X、Y的函数如何确定Z的分布？由于X，Y的取值是有限的或可数的而Z为X，Y的函数因此，Z的取值是有限的或可数的分析：计算每一取值点发生的概率即可得到概率分布Zz1z2…概率p1p2…列出（X，Y）的所有取值点利用联合分布律确定相应的概率方法：（X,Y）计算这些点对应的Z值（如：Z=X+Y）（x1,y1）（x1,y2)…(x2,y1)(x2,y2)…(xi,y1)(xi,y2)…x1+y1x1+y2…x2+y1x2+y2…xi+y1xi+y2…Z概率p11p12…p21p22…pi1pi

8、2…将相同的z值进行合并，其概率值作相应合并XY121201/31/31/3例5求X+Y，X-Y的分布（1,1）（1,2)(2,1)(2,2)2334X+Y概率01/31/31/3（X,Y）0-110X-Y234X+Y概率02/31/30-11X-Y概率1/31/31/3例6X，Y相互独立，分别服从P（λ1），P（λ2),求X+Y的分布分析：X的取值0，1，2，…Y的取值0，1，2，…X+Y的取值0，1，2，…结论推广：称作Poisson分布的可加性（再生性）例7X、Y相互独立01X概率1/21/201Y概率1/21/2求Z=max（X

9、，Y）的分布律分析：Z可能取值0，1，计算相应的概率即可三、二维连续型随机变量函数的分布设二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度设Z为X、Y的函数如何求Z的密度函数？通过分布函数定义求解分析：根据分布函数的定义根据分布函数与密度函数的关系关键点：积分区域的确定，二重积分的求解求分布函数是关键分布函数的定义求法求解步骤：第一步确定（X，Y）联合密度第二步计算Z的分布函数确定积分区域和积分限计算二重积分第三步计算Z的密度函数X，Y相互独立，均服从标准正态分布，求下列函数的密度函数例8（1）Z=X+Y（2）第一步确定（X，Y）的联合密度第二步

10、计算Z的分布函数（1）Z=X+Y为什么可以交换积分次序？令第三步计算Z的密度函数结论：第一步确定（X，Y）的联合密度第二步计算Z的分布函数（2）(1)(2)第三步计算Z的密度函数联立（1）（2）结论推广：称