随机变量的分布函数及其性质

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1、为X的分布函数(c.d.f.).也常记为设X为r.v.,x是任意实数,称函数一、定义（]ab]]（]注１．用分布函数计算X落在(a,b]里的概率：§2.3、随机变量的分布函数及其性质定理1.（分布函数的特征性质）(1)(非降性)F(x)是单调非降函数，即(3)(右连续性)F(x)右连续，即(2)(有界性)即F(+)=1,F(-)=0.证明（1）（2）（3）由于F(x)为单调非降函数，只须证明对于一列单调下降的数列成立用分布函数表示概率请填空注2任一函数F(x)为分布函数的充分必要条件为：F(x)满足上述三条性

2、质。注1分布函数也可定义为应改为左连续性。这样定义的分布函数仍满足性质1－3，但性质3例F(x),G(x)为两个分布函数,为一分布函数。证明例1设离散型随机变量X的概率分布为X01２P0.20.50.3（1）求X的分布函数F(x),并画出F(x)的图形；（2）求二、举例解(1)由于X只可能取,0,1,2,故当x<0时,当0≤x<1时,当1≤x<2时,当2≤x时,从而归纳上述结果得或0.20.71满足分布函数的三条基本性质。一般地，若离散型随机变量X的分布律为从图形上可以看出F(x)的单调非降右连续的函数，Xx1x

3、2…xk…Pp1p2…pk…其中表示对满足的一切下标i求和。称为单位阶梯函数，也称为Heavyside函数。则其分布函数为值得注意的是,F(x)是(-,+)上的分段阶梯函数,开区间外,其余各段都是左闭右开的区间.间断点就是随机变量X的取值点,除最左边那段是特别地，若随机变量以概率1取常数，即则称这个分布为单点分布或退化分布，它的分布函数为例2向平面上半径为1的圆D内任意投掷一个质点,以X表示该质点到圆心的距离.设这个质点落在D中任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比,试求X的分布函数.解当x<0时,当0≤

4、x≤1,可得其中k为比例常数,又因为P{0X1}=1,故k=1.当x>1时,综上所述,X的分布函数为11总结一、定义二、举例若离散型随机变量X的分布律为则其分布函数为称为单位阶梯函数.