随机变量的函数及其分布

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1、概率论与数理统计二、离散型随机变量的函数的分布三、连续型随机变量的函数的分布第三节随机变量的函数及其分布(1)(单个随机变量的函数的分布)一、问题的提出一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.例如，已知圆柱截面直径d的分布已知t=t0时刻噪声电压V的分布求功率W=V2/R(R为电阻）的分布等.设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.下面我们分离散型和连续型两种情况进行讨论.如何根据已知的随机变量X的分布求得随机变量Y=f(X)的分布？二、离散型随机变量的函数的分布问题设f(x)是定义在

2、随机变量X的一切可能值x的集合上的函数，若随机变量Y随着X取x的值而取y=f(x)，则称随机变量Y为随机变量X的函数，记为Y=f(X).例1设离散型随机变量X的分布律求Y=X-1的分布律.解Y的可能取值为－4，－1，2.故Y的分布律为由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.离散型随机变量的函数的分布律例2设解+Y的分布律为三、连续型随机变量的函数的分布1.分布函数法例3下面给出两种方法来求Y的概率密度函数1º先求Y=2X+8的分布函数解2º由分布函数求概率密度.定理(例2.18)2.公式法证于是证X的概率密度为例4解方法1(公式法)例5方法2(分布函数法)解例6求圆的面积的密度函数.密度函

3、数为设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布分析解例7证例81.离散型随机变量的函数的分布内容小结2.连续型随机变量的函数的分布方法1方法2注意条件.答：思考题例如所以再见解备用题例2-1求圆周长Y1和圆面积Y2的分布列.分布列为的值均不相等,不需合并.所以Y1的分布列分Y2的分布列为解例2-2服从N(100,52)工程队规定:若工程在100天内完工可获奖金10万元;在100~115天内完工可获奖金3万元;超过115天完工,罚款5万元,求该工程队在完成此项工程时，所获奖金的分布列.设某工程队完成某项工程所需时间X(天)近似所以所获奖金Y的分布列为故从本例得知,连续型随机变量的函数也可以是离散

4、型的.例2-3解所以Y的分布列为Y-11P0.50.5由此可得已知随机变量Ｘ的密度函数为解例5-1再由分布函数求概率密度.当Y=2X+3时,有