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《平移变换几何证明与计算中的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、平移变换在几何中的应用平移变换是几何中的一种重要变换，运用平移变换可以将分散的线段、角或图形集中到一起，便于问题的研究和解决。这是平移变换中的常用方法，下面仅举几例，以作说明。一、平移变换在几何证明中的应用例1．如图，△ABC中，BD=CE，求证：【解析】本题涉及到证明的几条线段虽然都交于一点，但对于证明这样一个几何不等式不是很方便。再有BD=CE，运用平移变换，将△AEC平移到△A’BD的位置，问题迎刃而解。【答案】证明：如图2,分别过点D、B作CA、EA的平行线，GFDE两线相交于F点，DF于AB交于G点。所以，在△AEC和△FBD中，又CE=BD，可证△AEC≌△FBD，所以AC=F
2、D，AE=FB，在△AGD中，AG+DG>AD，在△BFG中，BG+FG>FB，所以AG+DG-AD>0,BG+FG-FB>0,所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0,即AB+FD>AD+FB，所以AB+AC>AD+AE.【思考】本题还有没有平移其他图形的方法？例2．如图，梯形ABCD中，∠B+∠C=90°，点E、F分别为上下底边的中点，求证：【解析】题目需要证明的几条线段是分散的，通过平移变换可以将AB、EF、DC集中到一起。此时，其他条件也很能好好地得到应用。【答案】证明：分别过点E、F作EG//AB,EH//CD交BC于点G、H所以四边形ABGE,DEHC是平行四边形.AE=BG
3、,DE=CH,4因为FB=FC,所以FG=FH=所以∠EGC=∠B，∠EHB=∠C,又∠B+∠C=90°，所以∠EGC+∠EHB=90°，∠GEH=90°所以△GEH是直角三角形.所以，EF=二、平移变换在几何作图中的应用例3.如图，河流的河岸AB与CD平行，点A、B表示两个村庄，现要在河上架桥，满足两个条件：（1）桥与河岸垂直；（2）A、B两个村庄之间的线路最短，请问桥应架在何处？【解析】不管桥设计在何处，A、B两个村庄之间的路程中总有一段是河岸间的距离，所以运用平移变换，将河“平移”,使村庄A或B恰好在河岸上。【答案】过点A作AA’垂直河岸，且使AA’长度等于河的宽度，连结交河岸于点C
4、，过点C作CD垂直于河岸交河岸于点D，连结AD，则CD为桥的位置。【思考】如果A、B两个村庄之间有两条互相平行的小河，其他条件不变，桥的位置又该如何确定？图3例4.如图3，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；【解析】以三条中线为边长的三角形，显然要对这三条线段进行“重新组合”，手段就是平移变换。【答案】4三、平移变换在几何计算中的应用例5.如图，六边形ABCDEF中，对角线已知FD=24cm，BD=18cm.问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【解析】题目中给出了很多平行且相等的线段，这
5、就很容易联想到平移变换。通过平移变换，将图形“整形”，从而求出六边形的面积。【答案】如图，将△DEF平移到△BAG的位置，将△BCD平移到△GAF的位置，则原六边形分解组合成长方形BDFG.此长方形的边恰是已知长度的BD与FD.易知长方形BDFG的面积为24×28=432cm2.所以，六边形ABCDEF的面积是432cm2.例6.已知抛物线与x轴的两个交点记为A，B，点M在直线上，点P在抛物线上，求当以O、A、P、M为顶点的四边形为平行四边形时的P点坐标。【解析】本题运用平移变换在平面直角坐标系中的应用，这样求平行四边形的顶点坐标将会简便。因为平行四边形可以理解为一条线段沿平面内某一方向平
6、移所扫过的图形。【答案】①若OA为边，则PM∥OA.设M(m,2m),∵OA=5，∴P(m+5,2m)或P(m-5,2m).当P(m+5,2m)时，∵P点在抛物线上，∴,解得.∴P(12,14).当P(m-5,2m)时，∵P点在抛物线上，∴,解得.∴P(-3,4)或P(20,50).②若OA为对角线，则PM为另一条对角线.[来源:Z&xx&k]∵OA中点为(,0)，设M(m,2m),∴P(5-m,-2m).∵P点在抛物线上，∴,解得.∴P(12,14).综上,符合条件的P点共有3个，它们分别是P1(12,14)、P2(-3,4)、P3(20,50).4【练习】1．已知，如图，△ABC中，A
7、B=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，若BD=CE，求证：DE>BC.2．在△HBC中，∠B=∠C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连结AD.求证：AD≥3．在△ABC中，点P为BC的中点．（1）如图1，求证：AP＜（AB+BC）；（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连结DE．①如图2，连结BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你
