线性代数试题二.doc

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1、线性代数复习2一、选择题（每题3分，共15分）1．设为阶可逆矩阵,的第二行乘以2为矩阵，则的为。(A)　第二行乘以；　(B)　第二列乘以2；(C)第二行乘以；(D)　第二列乘以2.设向量组线性无关,线性相关,则以下命题中，不一定成立的是。(A)不能被线性表示；(B)不能被线性表示；(C)能被线性表示；(D)线性相关3.设,则二次型的矩阵为。(A)；(B)；(C)；(D)4．的伴随矩阵为，。(A)1；(B)2；(C)3；(D)45.已知是线性空间的一个基，以下也是的基。(A)；(B)；(C)；(D)。二、填空题（每题3分，

2、共15分）1．设是欧氏空间的标准正交基，则模＝_________。第5页共5页线性代数复习22．设矩阵为正交矩阵，则，。3.若实二次型为正定二次型,则的取值范围为。4.已知是非齐次线性方程组线性无关的解，为矩阵，且秩。若是方程组的通解，则常数须满足关系式。5.设为阶实对称矩阵，且，是的一重特征值，则行列式。三、计算题(每题9分,共54分)1.计算阶行列式D，其中；2.设3阶方阵满足方程，试求矩阵以及行列式，其中。3.设为三阶实对称矩阵，且满足已知向量,,是对应特征值的特征向量，求，其中为自然数。4.已知实二次型=，求正交

3、变换,第5页共5页线性代数复习2将二次型化为标准形，并写出正交变换。5.已知线性空间的基到基的过渡矩阵为，且，，；试求出在基下有相同坐标的全体向量。6.设线性方程组为，问：、取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。四、证明题(第一题6分，第二题10分)1．设为维列向量，且，矩阵，证明：行列式。2.设是实矩阵,是维实列向量，证明：（1）秩；（2）非齐次线性方程组有解。线性代数试卷参考答案一、选择题1.(D)2.(B)3.(C)4.(A)5.(C)二、填空题1.；2.；3.；4.为任意常数；5.

4、.三、计算题1.2.第5页共5页线性代数复习23.，特征值1、1、－2，，特征向量，所以4.的矩阵，有特征值对应的线性无关的和单位正交的特征向量，，；，，于是正交变换，化二次型为标准形5．设,,则。设所求向量的坐标为，则，即，因为为可逆矩阵，得，由第5页共5页线性代数复习2得，故6.当－2时，方程组有唯一解当－2，－1时，方程组无解当－2，－2时，＝2<3，方程组有无穷多组解,其通解为，为任意常数。四、证明题1．证：因为，特征值的可能取值为。的对角线元素之和为，(或非正定)所以是的一个特征值，故行列式2.证:（1）因为若

5、，则；而当时，由，得。因此齐次线性方程组与，同解，故秩。（2）因为秩因此，故非齐次线性方程组有解。第5页共5页