线性代数试题A答案.doc

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1、2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）1、1；2、；3、；4、2二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B三．计算行列式（本题满分6分）解13分3分解23分3分四．（本题满分12分）解：⑴由等式，得，即3分因此矩阵可逆，而且．2分⑵由⑴知，，即或2分3分2分五．（本题满分14分）解：4分所以，⑴当时，，此时线性方程组有唯一解．2分⑵当，时，，，此时线性方程组无解．2

2、分⑶当，时，，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为因此，原线性方程组的通解为或者写为4分六．（本题满分12分）解，2分所以得特征值2分对，解方程组，由，得特征向量所以对应的全部特征向量为3分对，解方程组，由，得特征向量全部特征向量为3分没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）解：的矩阵为．…………2分因此，二次型为正定二次型．矩阵为正定矩阵．矩阵的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵的各阶顺序主子式分别为，，…………2分．…………2分所以，二次型为正定二次型．，且由，得．由，得．因此，得．即

3、，二次型为正定二次型．…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为，，求向量在上述基下的坐标．解：设向量在基下的坐标为，则有，2分写成线性方程组的形式，有2分即，得唯一解，3分因此所求坐标为．1分九．（本题满分12分）证法1：记，显然.1°因为线性无关，知1分2°因为线性相关，知1分因此，1分有解且唯一。2分则可由表示，且表示法唯一。1分证法2：∵线性相关，∴存在不全为零的数，使得………………………………2分若k=0，则，∵线性无关，矛盾。∴k≠0…………2分若又有即可由线性表示，且表示法唯一.…………2分