2014年高考辽宁卷理科第16题解法赏析.pdf

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1、2014年第8期中学数学月刊·21·2014年高考辽宁卷理科第16题解法赏析洪恩锋(辽宁省抚顺市第一中学113001)李涛(湖北省咸宁高中437000)魏定波(浙江省宁波市第四中学315016)多元函数的最值问题一直是高考数学卷中着理科第16题最具有代表性，其横向入口较宽，纵重检验考生思维能力和综合素质的重要素材，并向难度较大，技巧性、综合性都很强．下文是笔者在考查力度上有加强、加深、加活之态势．纵观对这道试题解法的一点探究，意在抛砖引玉，切磋2014年高考卷中的多元函数最值问题，其中辽宁交流．成立．故PQ≤(n一6)。，即

2、PQ≤口～b．当且仅(n一b)。当tan0一时等号成立．(+b2xZz＼]注2最后的最值可以用柯西不等式得到(n。一b。)。≤一等(口+6)一一(+)(Sin2+COS2)≥(n+6)2．注3求PQ可以利用点P(acos0，bsin)到直线Z1：(asinO)x一(bcosO)y一0的距离所以点P到直线z的距离的最大值为n—b．注利用柯西不等式可直接得到7l(a。一b。)sinOcos0I、／／口sin0+b。COS0(_a4__b~4_)(薯+cn。．思路5问题(Ⅱ)利用勾股定理进行处理，思路6利用法线知识求距离，用柯西不

3、等最大值用均值不等式处理．式处理最大值问题．解法5设P(x。，Y。)(z。>0，Y。>0)，由题解法6设P(z。，Y。)(z。>0，Y。>0)是椭意得直线z的方程是+一1即bzz。z+圆+一1(口>6>o)上一点，则椭圆在P点n。D‘noY—a2b一O①．原点0到直线z的距离为d一处切线z的方程为+一1，所以椭圆在P点~／；，所以P到直线z的距离d满足6z+nY‘一处法线z。的方程为一。一(—。)，即===0P2}一20+一一()z一()．(+Y)(6z+nY)一nb显然题设中的P点到直线z。的距离恰等于坐b+nY标原点0到

4、此法线z的距离d，所以d===(6+n)+(口+b)zjY—abb4z+口Y‘由于薯+一l'由柯西不等(6z+nY)。+(口+b一2ab)Y一nbb4+n(口一b)z；(a一b。)式(+b_1)(-fi--+b2]>~(n+6)，当且仅当2bz+nYbln。z：一：时等号成立．所以≤_．口Vn0n十0(口一b)(b4十磊a4)(1T~o十So)·22·中学数学月刊2014年第8期题目对于C>0，当非零实数a，b满足4n4n一2ab+46一c一0可推得昔(2n+6)+一2ab+4bZ—c0且使l2a+6I最大时，旦一口D3(2

5、口一3b)一f，则5(2n+6)。≤c，即+的最小值为CI2n+6I一√警，当且仅当2n一36时等号成以卜从小l—J角度作解法贯析．1不等式角度立，下同法1，略．2函数与方程角度方法1≤()模型方法4判别式法解析f一4n一2ab+4b一(2a+6)一3b(2a解析令2口+b—t，则b===t一2。，代入4n一6)一(2a+6)一·26·(2n一6)≥(2口+6)。一2ab+4b一f—O中，得到4a一2a(t一2a)+4(t一2a)一c一0，即24a一18at+4t。一f一0(*)．一旦(兰)z一5(2口+6)z2、2，8⋯．

6、‘所，／-以、当—JI2n+I方程(*)是关于a的二次方程，且有实根，所以△bI最大时，取等条件“2a一3b”，将“2a一3b”代入一18￡2—4×24(4tz—c)≥O，可得≤8c，即(2n4口z一2ab+4bz—f一0，此时c一10bz，所以旦一+6)≤i8f，再将(2口+6)一8f代入4n2—2+52‘f一6一b+。2b一2(、b一2)一2，’即”导n一詈6+4b一f一0，得到2a一3b，下同法1，略．+三的最小值为一2方法5化齐次法．解析设I2+6i一￡则L一1，4z方法2柯西不等式解析4a一2ab+4b一f一0，可

7、推得2c一一一2ab+4b。2一c．1z—f．，整理后，有4(￡3(a+b)+5(a一6)。．(2a+b)。一一c)a。一2(f+2c)ab+(4￡一c)b一O(**)，该方程为关于变量a，b的齐次方程，现将方程×c+6+×(a-b]≤(**)看成关于口的方程，则：(1)当t一C时，此时b一2a，代入4a一2ab+4b。一C一0，解得c一[()+()]·[(4i-c。)+16a2此时，3一4十5一1+而51a，此时最小值(一6))]≤(3+)·2c一詈c．日DCnb。为一74；(2)当￡≠f时，△一[～2(￡+2c)]z一4

8、另解4a一2ab+4b。一C一0，可推得(2n一16)。+萼c．·4(。一f)(4t一f)一一60t+96≥0，所以t。≤_8flp(2n+6)。≤8c，，下同法4，略．(2a+6)一另解设一堕一[1舢n一鲁+去×c]≤，[+c]．[(2n一睾c，z]=令一，则yl===一≥，于是，当z∈