多视角审视全方位探究--2014年辽宁卷高考（理）第16题解法赏析-论文.pdf

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1、中学数学杂志2014年第9期娥46众眈6落％嚣9多视角审视全方位探究——2o14年辽宁卷高考(理)第16题解法赏析山东枣庄市第三中学277100黄丽生朱信富题目对于C>0，当非零实数a，b满足4口一降云．思路2(运用柯西不等式)2ab+4b一c：0，且使I2a+bJ最大时，_='一÷+二aoc由4。2—2口6+46一c=0，可得c=2口一b)+的最小值为．本题虽是一道填空题，却别有洞天，考查了函数L3(与方程、不等式的综合应用等知识．试题设计新颖，区3＼26)，由柯西不等式，得分度高，学生普遍感到难以下手．因为从条件来看

2、，它包含两部分，一个多元方程及一个绝对值问题，考生[(2。一b)+寻()]1+了3)≥很难发现到底考的是哪一块知识．本题实质上是根据I2。+6l最大时所满足的条件，把一个三元函数一元(2口一+6)：(2。+6)，所以12口十6I=化，这是处理多元函数的常规方法，关键是怎么找到满足的条件．可见，试题“暗藏”着一定的潜在价值，需，当且仅当寻2a--：了5日寸'等号成立'此：要我们去探索发现，做一番研究．视角一不等式法思路1(运用向量)3b，下NNN1．由4a一2ab+4b一C=0，可得3(4a+36)一点评柯西不等式是人教A

3、版选修4-5中的内容，运用二维柯西不等式，通常可以迅速证明不等式(2a+b)=2c①，令m=(2a，b)，，l=(1，)，或建立一些不等关系．比如本题配方后，下一步怎么由IJ，l·／Itf≤IJ，ll(4口2+3(i+了1)·f，lI，得(2a+6)≤办?c=(2口一b)+了5l36)，这种平方和的形式，②，即2c≥丢(2口+，结构上是否可以使用和1西不等式，实现“等”与“不等”的转化?以上两种解法，异曲同工，令人赏心悦所以I2a+6I一：√÷c，当且仅当J，l，Jl共线，即2a=目，这种“高屋建瓴”的解题途径体现了较高

4、的思维36时，等号成立，将2a=3b带入条件：4n一2ab+46品质．一c：o，得c：lOb2,于是一34三可转化为6的函思路3(运用基本不等式)+一_数，即3451由4口2—2口6+46一c=0，可得c=2。一)‘+—6+／1—2)一2≥一2，所以当6c2＼寻()，=÷时，一4+的最小值为一2，此时。：÷，c=由基本不等式，得5_．毒≥2I2a-bI，①点评对条件方程的变形有很多种，比如，将条件转化成3(4a+3b)一(2a+b)=2c，下一步该怎了5【3)十一3c≥2②么走，应该有一个目标才行，要寻找I2a+bI最大

5、值，需要建立4口+36与(2a+b)的不等关系，此时可①+②，≥2(120一bf+≥以考虑使用向量中的不等式来建立，等号成立的条件，恰好是m，Jl共线，即2a=3b时，下面的问题就简单2cl2口一号+寻6I，当且仅当①、②中的等号同了．可见，抓住问题的关键，才能产生一个优美、漂亮的中学数学杂志2014年第9期2。一60m+96c≥0，所以m≤÷c，即l2a+bl=时成立时等号成立，即_=，／tJ6~2a=3b时／536√3√了．、／导)c，又4a2"_2ab+46：c，所以2a=3b．■下同解法1．I2。+6l√詈，下同

6、解法1·点评这是最初的基本解法，考生也最容易想点评从本题解法可以看出，对条件的转化，等到，但与前面的四种方法相比较，它只能先得到l2o+同于思路2，接下来利用有效增设，使用基本不等式，bl的最大值，然后再结合条件等式，才能发现其达到建立两个不等式，然后通过叠加、利用绝对值性质放最值时所满足的条件，进而实现减元．从解法可以看缩，求出l2o+bl的最大值，同时也找到了I2口+bI到，其中少一些技巧，多一点自然，水到渠成的解题过达到最大时所满足的条件．解法仍然属于通法，但对程，常常源自思维方法上的质朴．不等式的应用提出了更高的

7、要求，有利于培养学生严思路7(利用齐次式减元)谨的思维，拓展其视野．令。=6t，贝u==思路4(运用基本不等式)由4a一2ab+46一c=0，可得c=(2a+6)一十，令A=一，3b(2a一6)，3b(2a一6)=-·2b·(2a一6)≤所以筹等=+：寻()=詈czn，所以c≥6A68++¨¨≤了4A2A44425÷(2a+b)，当且仅当2b=2a—b，即2a=3b时等号A+一+A成立，下同解法1．点评从解法看到，对条件“4a一2ab+4b一c当且仅当A=t一÷=1，即t=÷时等号成立，此=0”的不同配方形式，导致解法的

8、多样化．新解法的时2a=3b，下同解法1．出现，根源在于对题目结构认识的提高，实际上是对点评此解法精妙之处在于将已知两个条件完思路3解法的改进，由两次使用基本不等式减少为一美地融合在一起，考虑将I2口+bl平方后，它与条件次使用基本不等式，大大缩短了解题的长度．方程中的“4口一2ab+46’都是齐次式，然后再利用视角