2010年高考数学福建卷第16题赏析

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1、2010年高考数学福建卷理科第16题赏析王新民，吕晓亚（内江师范学院数学与信息科学学院）2010年高考数学福建卷理科第20题：观察下列等式：①；②；③；④；⑤．可以推测，．这是一道在高考数学中少见的以考察合情推理能力立意的试题．从考试的角度，这道试题可能难了一点，一方面，解答本题要求考生具有较为丰富的合情推理的策略和较强的捕捉信息、加工信息的能力；另一方面，因为题目隐去了部分相关信息（本文后面将详细讨论），使得其中所蕴含的规律（特别是关于推测数值的规律）隐藏的比较深而在短时间内难以被发现．然而，若从解题学习和培养学生发现创新能力的角度，这却

2、是一道难得的好题，在这道题的解答中蕴含着丰富的数学思想方法，不但可以运用合情推理（归纳与类比）的方法来推测，也可以运用演绎推理的方法来计算．1归纳方法1.1关于与的归纳观察前四个等式最高次方的项系数，易得如下特点：．由此可以推测：．观察前四个等式中倒数第二项系数的绝对值，可得如下规律：．由此可以推测．1.2关于的归纳为了发现推测值的规律，这里介绍两种归纳的方法．第一种是要素归纳法．要素归纳法指通过探讨所考虑对象的构成要素及其构成方式而发现规律的方法，其目的是归纳出可以重复出现的某种结构．受推测值时出现2的幂及推测值时出现平方数的启发，可把2

3、的幂与平方数作为归纳的要素来展开归纳的过程，这样便可以发现如下规律：；；．由上述规律可以推测出的值：．第二种是递推归纳法，递推归纳法是指在数列中，通过探讨由前面的项生成后面项的方式而发现规律的方法，其目的归纳出相邻项间递推关系．如果考查各等式中倒数第三项系数与倒数第二项系数绝对值间的关系，则可以得到如下递推关系：，，．从而可以推测：．2类比方法在上述归纳的过程中，得到推测值的规律已不太容易，倘若要问原题等式⑤中的1280与1120两数是如何推算的，那就更加困难了．其根本原因是：本题只给出了关于角的偶数倍的余弦函数的表达式，没有给出角的奇数倍

4、的余弦函数的表达式，使解题者不能获得较为完整的信息，造成了信息的“断裂”，从而使他们不能依着信息的连续性顺利地找到规律．如果将角的奇数倍的余弦函数的表达式也给出来，再类比“杨辉三角”的结构特征，则发现蕴含在这些等式中的规律就会比较直观、容易．通过简单计算可得如下等式：⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．将①～⑩这十个等式右边各项的系数按的降幂排列，则可得如下图所示的系数三角形（三角形最上面的1可视为角的“零倍”的余弦值）：11020-140-3080-801160-20050320-480180-1640-1120560-701280-25601600-3

5、2012560-57604320-120090m0-1280011200n0p0-1图系数三角形关于二项式系数的“杨辉三角”有以下两个特别直观的规律：（1）“杨辉三角”内的每一个数等式它左肩数与右肩上的数学之和，即．（2）“杨辉三角”每条右（左）斜线上前个数之和等于第个数左（右）下方的数，即或类比1：受“杨辉三角”的规律（1）的启发，注意到数据“2”在系数三角形中的独特作用、系数的符号以及0的规律等因素，则可得系数三角形的一个类似的特征：系数三角形内的每个数等于这个数左肩上左上方的数（左肩上的数的左肩上的数）的相反数加上其右肩上数的2倍．如

6、果用来表示系数三角形中的数，则有，如等．由这个规律很方便的得到．类比2：类比“杨辉三角”的规律（2），也可以找到系数三角形相类似的规律：系数三角形每条右斜线（不包括系数三角形的右边线）上前个数（第个数非零）的绝对值之和的2倍等于第个数左下方的数的绝对值，即．如等．由此可计算出与的值：．由系数三角形的第二条规律，很容易得到前述1.2节中所归纳的结果，并且也直观地给出了的值为何能用平方数来表示的原因．实际上，只要将正奇数所组成的数列：按照先求前几项的和、再2倍的方式进行不断的叠加，便可生成系数三角形中（除右斜边上的数）所有的数，可以说，奇数与2

7、的幂是生成诸等式中各系数的“根”，是构成各项系数的基本要素．如：；；；………………………………………………………………………………………………………3演绎方法方法1：如果将关于的表达式计算出来，可直接得到的值，但运算量过大，是一个不太情愿采用的方法．比较简单的做法是，在原题等式⑤中令，则可得，．再令，又可得．以下可以继续令取特殊值，但这样做运算量较大．为简单起见，将易于由归纳得到的代人上述两式可得，解之得．故．方法2：令，则可设．注意到，则有．比较两个表达式各项的系数，可得．这些关系便是诸等式中各项系数之间的递推关系，其中，，并且包含了前述

8、1.1中关于的归纳结论与类比1中所得到的结论．至于类比2所得到的结论，可由上述递推关系推出，这里略去．在本题的解答中，依次运用了归纳推理、类比推理和演绎推理，比较完整地经历了数学