2014年福建高考数学理科第21题(3)赏析

《2014年福建高考数学理科第21题(3)赏析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2014年12月下旬(高中)解题研究中小学数学旧己口14年福建高考数学理科第题(])赏新福建省厦门第一中学(361003)王淼生一年一度的高考落下帷幕．赏析每年的高考试题形，目口有_厂()：+1+I一2I=成为一线教师常态的必修课．“关注交汇、注重探究、r2一1(>2)，规避模式、强调应用、凸显理念”的高考命题风格日趋is(÷≤≤2)·成熟．在夯实基础知识、基本技能的同时重视数学思解法4：从数形结合的视角可以这样构思：想及基本方法的考查，突出考查推理思维能力；考查，()=l+1l+I一2I表示一维数轴上的动点对数学问题本质认识的深

2、刻程度；考查利用数学思想到两个定点一1与2的距离之和，显然当动点在两个寻求解题方法的素养；考查面对新情景、新问题时应定点之间运动时取得最小值为两定点之间的距离，故用知识的能力与创新意识；考查分析问题、解决问题的综合能力．笔者对2014年福建高考数学理科试题第2l题(3)(以下简称题1)情有独钟，以下谈谈自己的(Ⅱ)等价于：若P，q，r为正实数，且p+q+r=3，一点心得体会，不当之处，恳请批评指正．求证：P++r≥3．1．一题多解。凸显思想方法这是一道不等式证明题，我们可以从以下层面来题1已知定义在R上的函数_厂()=I+1l+构

3、思．l一2I的最小值为a．1．1以熟知事实为依据(I)求a的值；证法1：以事实为依据，从基本常识(即任何实数(Ⅱ)若P，q，r是正实数，且满足P+q+r=a，求的平方为非负数)出发可得证：P+q+r≥3．(P一1)≥0，(q一1)≥0，(r一1)。≥0+对于(I)，我们可以从以下几个视角来处理：q+r≥3．解法1：从绝对值不等式的视角可以这样思考：1．2以基本不等式及著名不等式为依据)=I+1l+I一2I≥I(+1)一(一2)I=3．证法2：从最基本不等式：a+b≥2ab人手可得当且仅当(+1)(一2)≤0，即一1≤≤2时P+l≥

4、2p，q+1≥2q，r2+1≥2r=+q等号成立，故a=3．解法2：从分段函数的视角可以这样思考：证法3：从最基本不等式的变式：2(a。+b)≥(ar2一1(>2)，+b)(注：教材习题)探究：设Pq+r2=￡，则有P，()={【3(一1≤≤2)，)≥3，q=t—r。，P+g=3一r，依据上述变式可得一2+1(<一1)2(t—r)≥(3一r)=2f≥3(r一1)+6=2f≥解法3：从轴对称的视角来审视：不难发现)：1一)，即函数Y=八)的图证法4：从求证的外形结构着手，联想到柯西不等像关于直线：对称，为此只要考虑当≥—的情式法蠢-

5、i中小学数学解题研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2014年12月下旬(高中)(p+q+r)(1+1+1)≥(p+P+r)1．5从构造三维向量的视角+q+r≥3．证法11：从构造三维向量的视角可得1．3以证明不等式的常见方法为依据设m=(P，g，r)，Jl=(1，1，1)，利用(J，l，n)≤证法5：从证明不等式最常见的作差法可得IJ，ll·I，lJ即可得证．3(p+q+r)一9=3(p+q+r)一(p+q+1．6站在解析几何的视角r)=(p—g)+(q—r)+(卜p)。≥O+q+证法12：从平面解析几何(构造直线与圆)的视F2≥3．角得到证法6

6、：从证明不等式另一种常规方法：分析法切设P+q+F2=f，贝0有P+q：t—F2，P+q=入可得p+q+r≥3车(p+q+r)≥32e*3(p。3一r，这正是圆与直线，利用圆与直线有公共点(相交+q+r)≥(p+q+r)+q+r≥Pq+qr+rp，或相切)，借助圆心到直线的距离与圆的半径关系可这是一个恒成立的不等式．得≤j2≥3(r一1)+62f≥6j证法7：从正难则反的视角采用反证法√2设p+q+r<3，则有t≥3．(p+q+r)一2(pg+gr+rp)<3=Pq+qr+rp证法13：从空间解析几何(构造平面与球)的视>3．角得

7、到上式与事实：Pq+gr+rp≤P+q+r<3相矛设Pq+r=￡，若将Pq+r=3看作平面，盾，从而假设错误，原结论正确．那么P+q+，=t就是球，运用类比的办法(下同证1．4从构造二次函数的视角法12)即可得证．证法8：构造对称轴为常数的二次函数得到2．追根溯源。顺势拓展推广g()=3x一6x+(p。+q+r)相信数学教师一定对以下试题(下称题2)耳熟=(一2px+P)+(一2qx+q)+(一2rx能详：+r题2：若P，q为正实数，且Pq=2，求证：P+q=(—P)+(—q)+(—r)≥0．≥2．显然函数g()是开口向上且其值恒

8、为非负数，对照题2就可以轻易将题1升幂并得到以下试题即△≤0+q+1-2≥3．(下称题3)：证法9：构造对称轴为变量的二次函数得到题3：若P，q，r为正实数，且p+g+r=3，求证：Pg()：(P+q+r)一6+3．q+r3≥3．：(p。一2px+