2016年高考数学全国卷（乙）第21题赏析

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1、2016年高考数学全国卷（乙）第21题赏析　　2016年高考数学全国卷（乙）第21题如下：　　已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.　　（1）求a的取值范围；　　（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2.1背景分析　　本题的命制延续了2015年全国卷Ⅰ第21题的试题特点，题设条件简单明了，从诸如函数零点、参数范围等常考知识点处发问，使考生倍感亲切，有利于考生稳定情绪，从而发挥出最佳水平.　　研究试题，我们可以看到今年的试题依然简约但不简单.考证第二问发现，似乎与下列几题存在关联.　　2010年天津卷理科第21题：　　已知函数f（x）

2、=xe-x（x∈R）　　（1）求函数f（x）的单调区间和极值；　　（2）已知函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称，证明当x>1时，f（x）>g（x）；　　（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x2>2.　　2011年辽宁卷理科第21题：　　已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.　　（1）讨论f（x）的单调性；　　（2）设a>0，证明：当0f（1a-x）；9　　（3）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）<0.　　2013年湖南卷文科第21题：　　已知函数f（x）=

3、1-x1+x2ex　　（1）求函数f（x）的单调区间；　　（2）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2<0.　　所以，这又是一道推陈出新的好题，似曾相识，但不落俗套，给人耳目一新的感觉.透过试题，命题者给我们也指出了复习备考之道，深入研究历届高考试题是科学复习备考的不二之法，毕竟这些试题凝聚着众多命题专家的心血和智慧.　　另外，以上试题都蕴藏着这样一个重要的知识背景，那就是极值点的偏移问题，而这类问题大多与高等数学中的拉格朗日中值定理存在一定的联系.事实上，由拉格朗日中值定理，即下面的结论：　　若函数f（x）满足：　　（1）f（x）在闭区间[a，b]上连

4、续；（2）f（x）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，　　使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.　　从而取ξ=a+θh，h=b-a，得f（b）-f（a）=f′（a+θh）h，0<θ<1.一般地，称x0=a+θh为相对于左端点a的偏移点，而θh（0<θ<1）则定义为偏移点相对于左端点的偏移量.可以看出，当ξ=a+θh为极值点且当θ=12时，函数f（x）的图像关于x=ξ对称.否则，函数f（x）的图像不关于x=ξ对称.9　　就本题而言，易知x=1为极值点，但θ≠12，所以f（x）的图像不关于x=1对称.　　事实上，在拉格朗日中值定理中取b=1+x，a=1

5、-x，h=2x，得到，　　f（1+x）-f（1-x）=f′（1-x+2θx）?2x，即f（1+x）-f（1-x）=（2θ-1）x（e1+（2θ-1）x+2a）?2x.　　另外，f（1+x）=（1+x-2）e1+x+a（1+x-1）2=（x-1）e1+x+ax2，　　f（1-x）=（1-x-2）e1-x+a（1-x-1）2=-（1+x）e1-x+ax2.　　所以f（1+x）≠f（1-x），θ≠12，从而f（x）的图像不关于x=1对称.　　由此可见，它们都有高等数学的背景，具有替高校选拔优秀人才的功能，显然是全卷的压轴题.2解法分析　　方法1　　解（1）f′（x）=（x-1）（

6、ex+2a）　　当a>0时，由f′（x）=0得，x=1.f（x）在（-∞，1）上递减；在（1，+∞）上递增.　　而f（1）=-e0，所以在（1，2）有一个零点.另外，　　f（1-a）=（1-a-2）e1-a+a（1-a-1）2=-（1+a）e1-a+a3.令g（a）=f（1-a），则　　g′（a）=a（e1-a+3a）>0，所以g（a）在（0，+∞）上递增，又g（0）=-e，g（2）=8-3e>0.从而存在a，使得g（a）=f（1-a）>0，又f（x）在（-∞，1）上递减，所以在（1-a，1）上存在唯一零点.　　当a=0时，f（x）=（x-2）ex，f′（x）=（x-1）e

7、x.由f′9（x）=0得，x=1.f（x）在（-∞，1）上递减；在（1，+∞）上递增.另外，f（1）=-e<0，当x<1时，f（x）<0.结合零点存在性定理易知，此时f（x）只有一个零点.　　当a<0时，由f′（x）=0得，x=1或x=ln（-2a）.令ln（-2a）=1，则a=-e2.则　　（?。┤?a1，f（x）在（-∞，1）上递增；（1，ln（-2a））上递减；（ln（-2a），+∞）上递增.又f（1）=-e<0，所以此时f（x）有一个零点.　　（??）若-e2　　记t=ln（-2a），则f（x）的极大值f（