一类四元素广义Riemann边值问题的封闭形式解.pdf

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1、云南大学学报(自然科学版)，2014，36(5)：623—628DOI：10．754o／j．ynu．20140001JournalofYunnanUniversity一类四元素广义Riemann边值问题的封闭形式解陈金玉，柏森(1．重庆大学自动化学院，重庆400030；2．重庆通信学院，重庆400035)摘要：考虑四元素的广义Riemann边值问题a(t)(t)+b(f)(t)=c(t)一(t)+d(t)一(t)+，(t)，t∈L，边界￡为简单封闭的Lyapunov曲线．许多学者就该问题的Noether性质、线性无关

2、解的个数、可解条件等方面作了深入的研究，问题求解情况也得到广泛的关注，但是还没有得到圆满的解决．讨论当满足条件a(t)=b(t)≠0，C(t)≠b(￡)时，上述问题的Noether性质和求解情况，并通过适当的转化，给出了问题的求解过程和解封闭形式．关键词：四元素的广义Riemann边值问题；Markushevich问题；保形映射；共轭；求解中图分类号：0174文献标志码：A文章编号：0258—7971(2014)05—0623—06设简单封闭的Lyapunov曲线把复平面分为内域D和外域D一2部分，原点0∈D．寻求在

3、D和D分片解析函数(z)，要求按照边界条件0(f)(t)+6()()=c(t)一()+d()一(t)+t)，t∈L，(1)其中a(t)，b(￡)，c(t)，d(f))∈()．以上问题称之为四元素的广义Riemann边值问题．前苏联学者对此作过多方面的研究，LitvinchukGS作了详尽的总结，他概述了问题(1)的Noether性质、线性无关解的个数、可解条件等研究成果_1]．王传荣、杨巧林用求标准商问题的解和压缩映象原理相结合的方法求解四元素广义Riemann问题，讨论了可解条件，给出了解表达式．林玉波_4对系统项

4、作适当限制后将问题转化为三元素问题，并得到了一类四元素线性共轭边值问题的封闭形式解，鄢盛勇借助积分方程理论和不动点原理证明了边值问题解的存在性，给出了带位移的四元素边值问题解的积分表达式．当Ⅱ(￡)=1，b(￡)=0时，问题(1)可直接变为(t)=c(f)一()+d()一()+，(f)，t∈L，(2)问题(2)称为广义Riemann问题，由A．I．Markushevich于1946年首先提出]．1952年VekuaNP_7讨论了它的正规可解性，1959年VekuaIN_8指出了它在曲面无限小变形上的应用，接着，Boj

5、arskiBVE，MikhailovLI¨“，SabitovIN¨等讨论了其Nother定理，LitvinchukGS概述了问题(2)的Noether问题、稳定性等方面的研究成果[1]，并将结论推广到带位移的广义Riemann边值问题上．1987年王传荣¨】讨论了当G(t)±G：(t)之一可亚纯延拓至单位圆内时，给出了单位圆问题(2)的封闭形式解．曹长修，陈金玉¨于2001年讨论并给出了退化情形下(IG(t)I=lG(t)1)带位移的广义Riemann边值问题的封闭形式解，它包含LitvinchukGS的相关工作⋯，

6、并推广了王传荣的结果_】．2007年LiWeifeng，DuJinyuan通过将问题(2)转化为Fredholm积分方程的方法，得到了单位圆下问题(2)解的表达式，并将结果推广到实轴．·收稿日期：2014一Ol一13基金项目：国家自然科学基金(61272043)；重庆市基础与前沿研究计划(cste2013jjB40009)．作者简介：陈金玉(1969一)，男，福建人，博士，副教授，主要从事解析函数边值问题方面的研究．E—mail：cqchenjy@cqu．edu．cn624云南大学学报(自然科学版)http：／／ww

7、w．yndxxb．ynu．edu．on第36卷解析函数边值问题有着广泛的应用一，许多力学、物理学、工程技术中的实际问题往往可化为边值问题．本文仅研究其中简单封闭的Lyapunov曲线下边值问题(1)的求解，且当0(t)=b(t)≠0，C(t)≠d(t)时，给出了问题(1)的求解情况．1问题的求解考虑满足一(∞)=0简单封闭的Lyapunov曲线下广义Riemann边值问题(1)，其中口(t)，b(t)，c(t)，d(t)t)∈(L)，当0(t)=b(t)≠0，c(t)≠d(t)时问题(1)的求解．可以通过保形映射将边

8、界条件变为单位圆周．事实上，假设函数=∞(z)和=∞一(z)分别把区域D和D一保角映射到圆周。的内部和外部，用(∞)和z一()表示逆映射．由保角映射的理论可知，在关于边界￡所做的假定下，函数∞(z)、∞一(z)和z(∞)、z一(∞)分别连续地延拓到和，，同时在L和￡上满足Holder条件．这样，问题(1)就化为单位圆域上的问题．因此，不失一般性