资源描述：
《一类分数次微分方程边值问题的解-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第28卷第2常熟理工学院学报（自然科学）Vol.28No.22014年3月Mar.,2014JournalofChangshuInstituteTechnology（NaturalSciences）一类分数次微分方程边值问题的解代雨杭，胡平平，苏新卫（中国矿业大学理学院数学系，北京100083）摘要：讨论了无穷区间上的分数次微分方程的边值问题，应用Schauder不动点定理，证明非线性分数次微分方程边值问题解的存在性，合适的Banach空间的选取允许解是无界的.关键词：分数次微分方程；不动点定理；无界解中图分类号：O175.1；O175.8文献标识码：A文章编号：1008-2794
2、（2014）02-0038-041引言本文研究下面问题CαìD+x(t)=f(t,x(t)),n-1<α≤n,n≥2,t∈J=[0,∞),ï0íï(n-1)Cα-1（1.1）x'(0)=x''(0)=⋯=x(0)=0,D+x(∞)=x(0),î0Cα-1Cα-1CαCα-1其中f:J×R→R是连续的，D+x(∞)=limD+x(t)，D+,D+表示函数的Caputo分数次导数.0t→∞000近几十年来，分数次微积分算子及分数次微积分方程因其在众多领域的应用而倍受关注，发展十分迅[1-3]速.国内外许多学者致力于研究分数次微分方程的边值问题.在文献[4]中，作者研究了无穷区间上分数次
3、微分方程的边值问题，应用Schauder不动点定理及对角线化方法，证明了其有界解的存在性.无穷区间上分数次微分方程边值问题无界解的研究可参见文献[5-6].本文在合适的Banach空间中讨论问题（1.1）的解并允许解是无界的，基于Caputo导数更广泛的应用，不同于文献[5-6]，问题（1.1）中的导数是Caputo导数且阶数是任意的.2有关引理δCδ关于函数x(t)的δ>0阶Riemann-Liouville分数次积分I+x(t)和Caputo分数次导数D+x(t)的定义可参见00文献[1].[1]引理2.1分数次微积分算子有如下性质，其中a>0是任意常数.1CδδCδγγ-δ（
4、1）对f∈L(0,a),γ>δ>0,有D+I+f(t)=f(t)和D+I+f(t)=I+f(t)；000001αβα+β（2）对α>0,β>0,f(t)∈L(0,a)有I+I+f(t)=I+f(t)；000δδ（3）I+:C[0,a]→C[0,a]，且对f∈C[0,a],δ>0有I+f(0)=0.00收稿日期：2013-06-08基金项目：中国矿业大学（北京）国家级大学生创新训练计划项目“一类分数次微分方程边值问题的解”（201211413131）通讯联系人：苏新卫，副教授，硕士，研究方向：微分方程定性理论，E-mail：kdxws@163.com.2代雨杭，胡平平，苏新卫：一类分
5、数次微分方程边值问题的解39[1]Cδ2n-1引理2.2D0+f(t)=0当且仅当f(t)=b0+b1t+b2t+⋯+bn-1t，其中bi∈R是常数，n是大于或等于δ的最小整数.由引理2.2可得δCδ2n-1I0+D0+f(t)=f(t)+b0+b1t+b2t+⋯+bn-1t（2.1）3解的存在性用C(J,R)表示定义在J上的连续函数空间.定义空间
6、x(t)
7、X={x∈C(J,R):sup<∞},α-1t∈J1+t
8、x(t)
9、[5]其上的范数定义为
10、
11、x
12、
13、=sup，则X是一个Banach空间.α-1t∈J1+t为证明本文的主要结果，我们需要下面的引理.[6]引理3.1假设Y⊆X是
14、有界集，若满足以下条件，则Y是相对紧集.x(t)（1）对任意x(t)∈Y，在J的任意紧子区间上是等度连续的；α-11+tx(t)x(t)12（2）任给ε>0，存在T=T(ε)>0，使对任意t,t≥T及x(t)∈Y，有
15、-
16、<ε.12α-1α-11+t1+t12下面给出本文的主要结果.1+定理3.1设有Lebesgue可积函数a(t),b(t)∈L(J,R)满足
17、f(t,x)
18、≤a(t)
19、x
20、+b(t)，而且，2M∞∞α-11∫0(1+t)a(t)dt<1,∫0b(t)dt<∞,M=max{1,}.则问题（1.1）至少存在一个解.Γ(α)证明首先注意到∞∞∞∞α-1∫0
21、f(t,x(
22、t))
23、dt≤∫0[a(t)
24、x(t)
25、+b(t)]dt≤
26、
27、x
28、
29、∫0(1+t)a(t)dt+∫0b(t)dt<∞（3.1）由引理2.1，引理2.2及（2.1）式易知（1.1）等价于下面的积分方程.∞t1α-1x(t)=∫0f(t,x(t))dt+∫0(t-s)f(s,x(s))ds.Γ(α)定义算子T如下：∞t1α-1Tx(t)=∫0f(t,x(t))dt+∫0(t-s)f(s,x(s))ds（3.2）Γ(α)则算子T的不动点即是（1.1）的解.下面验证T满足Sc
