使用几何画板找出椭圆、双曲线的对称轴、顶点和焦点以及抛物线的焦点.pdf

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1、ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ中学数学杂志２０１５年第７期使用几何画板找出椭圆、双曲线的对称轴、顶点和焦点以及抛物线的焦点广东省佛山市南海区石门中学５２８２４８黄伟亮文［１］介绍了如何使用几何画板找出已知椭圆１（ａ＞ｂ＞０），点Ａ的坐标为(ｘ，ｙ)，其中ｘ≠±ａ０００２２２２的中心，文［２］介绍了如何使用几何画板找出已知且ｘ≠０，于是圆的方程为ｘ＋ｙ＝ｘ＋ｙ．由于椭０００双曲线的中心和已知抛物线的顶点．本文介绍如何圆和圆都关于ｘ轴、ｙ轴、原点对称，所以点Ｂ、Ｃ的坐使用几何画板找出已知椭圆、双曲线的对称轴、顶点标分别为(ｘ，－ｙ)、(

2、－ｘ，－ｙ)，于是直线ＡＢ、００００和焦点以及已知抛物线的焦点，作为文［１］与文［２］ＡＤ的方程分别为ｘ＝ｘ、ｙ＝ｙ，所以直线ｌ、ｌ的方程００１２的补充．分别为ｘ＝０、ｙ＝０，所以直线ｌ、ｌ就是椭圆的两条对１２１找出已知椭圆的对称轴、顶点和焦点称轴．步骤如下：因为ＯＥ＝ｂ，ＥＦ＝ａ，所以ＯＦ＝１１１．利用文［１］的２２２２ＥＦ－ＯＥ＝ａ－ｂ＝ｃ，同理，ＯＦ＝ｃ，１２方法找到椭圆的中心于是Ｆ、Ｆ是椭圆的两个焦点．１２Ｏ；２找出已知双曲线的对称轴、顶点和焦点２．如图１，在椭圆步骤如下：上任找一点Ａ（不是椭１．利用文［２］的圆的顶点），以Ｏ为圆方

3、法找到双曲线的心，ＯＡ为半径作圆，中心Ｏ；该圆与椭圆的其余三２．如图２，在双图１个交点分别为Ｂ、Ｃ、曲线上任找一点Ｄ；Ａ（不是双曲线的顶３．连接ＡＢ、ＡＤ，过点Ｏ分别作ＡＢ、ＡＤ的平行线，点），以Ｏ为圆心，得到直线ｌ、ｌ，则直线ｌ、ｌ就是椭圆的两条对称轴；１２１２ＯＡ为半径作圆，４．直线ｌ与椭圆交于Ｅ、Ｆ两点，直线ｌ与椭圆图２１２该圆与双曲线的其交于Ｇ、Ｈ两点，则Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ是椭圆的四个顶点；余三个交点分别为Ｂ、Ｃ、Ｄ；５．比较ＯＥ与ＯＧ的大小，若ＯＥ＞ＯＧ，３．连接ＡＢ、ＡＤ，过点Ｏ分别作ＡＢ、ＡＤ的平行线，则ＥＦ是长轴，ＧＨ是短轴；若

4、ＯＥ＜ＯＧ，则ＥＦ是得到直线ｌ、ｌ，则直线ｌ、ｌ就是双曲线的两条对称１２１２短轴，ＧＨ是长轴（图１中ＯＥ＜ＯＧ，所以ＥＦ是轴；短轴，ＧＨ是长轴）；４．直线ｌ与双曲线交于Ｅ、Ｆ两点，则Ｅ、Ｆ是双２６．以Ｅ为圆心，ＯＧ为半径作圆，与直线ｌ交于２曲线的两个顶点；Ｆ、Ｆ两点，则Ｆ、Ｆ就是椭圆的两个焦点．１２１２５．以Ｏ为圆心，ＯＥ为半径作圆Ｃ；备注若点Ａ恰好是椭圆的顶点，则该圆与椭１６．过点Ｄ，利用文［３］的方法作双曲线的切线圆只有两个交点（其中一个是点Ａ），此时，可对点Ａｌ，与Ｃ交于点Ｇ；进行调整，使得点Ａ不是椭圆的顶点．３１７．过点Ｇ作ｌ的垂线

5、，交ｌ于点Ｆ，作点Ｆ关于下面给出该作法的证明．３２２２２２直线ｌ的对称点Ｆ，则点Ｆ、Ｆ就是双曲线的两个ｘｙ１１１２证明如图１，不妨设椭圆的方程为＋＝２２ａｂ焦点．２２中学数学杂志２０１５年第７期ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ４４４２２６２４４备注若点Ａ恰好是双曲线的顶点，则以Ｏ为ａｂ＋ａｂｙ＋ａｙ－ａｂ００＝圆心，ＯＡ为半径的圆与双曲线只有两个交点（其４２ａｙ０中一个是点Ａ），此时，可对点Ａ进行调整，使得点Ａａ４ｂ２ｙ２＋ａ６ｙ２００＝不是双曲线的顶点．ａ４ｙ２０关于双曲线的顶点、对称轴的证明方法与椭圆＝ａ２＋ｂ２＝ｃ２＝ｃ，于是点

6、Ｆ，所以ｘ是双曲线Ｆ２２的证明类似，此处不再赘述．下面证明Ｆ、Ｆ是双曲１２的右焦点，从而点Ｆ是双曲线的左焦点．１线的两个焦点．３找出已知抛物线的焦点２２ｘｙ证明如图２，不妨设双曲线的方程为－步骤如下：２２ａｂ１．利用文［２］的方法找到抛物线的顶点Ｏ和对＝１（ａ＞０，ｂ＞０），点Ｄ的坐标为(ｘ，ｙ)，其中ｘ０００称轴ｌ；≠±ａ，点Ｇ的坐标为(ｍ，ｎ)．２．如图３，在抛物线上任找一点Ａ（不是抛物线２２ｘｙ００的顶点），过Ａ作ＡＢ⊥ｌ于点Ｂ，作点Ｂ关于顶点Ｏ的因为点Ｄ在双曲线上，所以－＝１，即２２ａｂ对称点Ｃ，连接ＡＣ；２２ａｙｘ２＝ａ２＋０……

7、…①．３．过点Ａ作ＡＤ⊥ＡＣ，交对称轴ｌ于点Ｄ；０２ｂ４．取ＣＤ中点为Ｆ，则点Ｆ就是抛物线的焦点．２２２点Ｇ在圆Ｃ上，所以ｍ＋ｎ＝ａ………②．１下面给出该作法的证明．ｘｘｙｙ切线ｌ的方程为０－０＝１，而点Ｇ在ｌ上，所证明不妨设抛物线３２２３ａｂ的方程为ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞ｍｘｎｙ０－０＝１，即ｂ２－ａ２＝ａ２２０），点Ａ的坐标为以ｍｘｎｙｂ，两边平方，２２００ａｂ(ｘ，ｙ)，其中ｘ≠０，则点０００化简可得Ｂ的坐标为(ｘ，０)，点Ｃ的０２２４２２４２２４４２ｍｎｘｙａｂ＝ｂｍｘ＋ａｎｙ－ａｂ………③．００００坐标为(－ｘ，０)．于是直０２ａｙ０

8、线ＡＣ的斜率为因为ＧＦ⊥ｌ，所以直线ＧＦ的斜率为－，２３２２ｂｘ０ｙ０－０ｙ０图３＝，直线２ａｙｘ－(－ｘ)２ｘ００００所以直线ＧＦ的方程为ｙ－ｎ＝－(ｘ－ｍ)，令ｙ２２ｂｘ０２