抛物线的焦点和准线

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1、抛物线的焦点与准线（高中知识有关）九上P54、活动2（新书）一、高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线.公式：抛物线的焦点为，准线为二、试题：1、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）．（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点

2、的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由．2、2012年山东潍坊市24．(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，0)、B(2，0)、C(0，－1)三点，过坐标原点0的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C,D(0，－2)作平行于x轴的直线．(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON为直径的圆与直线相切；(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．3、

3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷24、如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．（1）求b的值．（2）求x1•x2的值．（3）分别过M，N作直线l：y=﹣1的垂线，垂足分别是M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．－1yxO（第28题）1234－2－4－33－1－2－3－44124、2010年南通市中考试题

4、（五中月考）28．（本小题满分14分）(2010年南通市)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．第22题图ABQOyxPC5、（2011-201

5、2福州市九上期末考试题）22．（14分）已知抛物线经过点A（－2，0）、B（0，1）两点，且对称轴是轴，经过点C（0，2）的直线与轴平行，O为坐标原点，P、Q为抛物线（）上的两动点。（1）求抛物线的解析式;（2）以点P为圆心，PO为半径的圆记为⊙P，判断直线与⊙P的位置关系，并证明你的结论;（3）设线段，G是PQ的中点，求点G到直线距离的最小值。6、（2012四川资阳9分）抛物线的顶点在直线上，过点F（－2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶

6、点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；[来&源#%:︿中*教网]（2）(3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；（3）(3分)若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝，求点M的坐标．抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案1、（2010黄冈市，25，15分）【分析】．（1）抛物线的顶点为C（1，1），可设解析式为y＝a（x－1）2+1，又因抛物线过原点，可得a＝－1，所以y＝－（x－1）2+1，化简得y＝－x2＋2x，即可求字母a，b，c的值；（2）由FM＝FP，PM与直线垂直，可得，∴，代

7、入y＝－x2＋2x，解得∴点P坐标为（，）或（，），所以分两种情况，通过计算可得△PFM为正三角形；（3）由PM＝PN可得＝，整理得，，解得，（舍去），故存在点N（1，），使PM＝PN恒成立．【答案】．（1）a＝－1，b＝2，c＝0（2）∵FM＝FP，PM与直线垂直，∴，∴，把代入y＝－x2＋2x，解得∴点P坐标为（，）或（，），当点P坐标为（，）时，MP＝MF＝PF＝1，∴△PFM为正三角形，当点P坐标为（，）时，MP＝MF＝PF＝1，∴△PFM为正三角形，∴当点P坐标为（，）或（，）时，△PFM为正三角形；（3）存在，∵PM＝PN

8、，∴＝，两边同时平方得，＝∵y＝－x2＋2x，∴，解得，（舍去），故存在点N（1，），使PM＝PN恒成立．【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（1）问较简单，考查大多数学生