二次曲线的主轴_焦点和准线研讨

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1、2011年9月陕西教育学院学报Sep．2011第27卷第3期JournalofShaanxiInstituteofEducationVol．27No．3二次曲线的主轴、焦点和准线研讨宋占奎(湖北十堰职业技术学院，湖北十堰442000)摘要:在探讨射影几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线时，用射影几何的概念法可以分别得到抛物线、椭圆与双曲线的主轴、焦点和准线．由研讨得知在射影几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线与解析几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线是一致的．关键词:极点;极线;主轴;焦点;准线;无穷远点;迷向切线;无穷远直线中图分类号:O182．

2、1文献标识码:A文章编号:1008－598X(2011)03－0080－05在射影几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线与解析几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线是否是一致的?文中现证明它们是一致的．因为主轴通过焦点(对于抛物线来说主轴通过焦点与抛物线上的无穷远点)．故首先证明焦点问题，然后再证明主轴及准线．最后通过实例给出求主轴、焦点和准线的一般方法．不当之处，多蒙指教．1基本原理定义1若(x，y)为一复点，则(x，y)称为(x，y)的共轭复点，简称共轭点，其中x，y、分别为x、y的共轭［1］83复数，(x，y)和(x，y)称为一对共轭点．［2］13

3、7定义2二次曲线一条直径如果平分一组和它垂直的弦，则此直径称为主轴．定义3两个虚点I(1，i，0)，J(1，－i，0)叫做圆点．凡过一个圆点(δ3直线除外)的直线叫做迷向直［3］249［4］190线(极小直线)．定义4从I，J两点引二次曲线的切线，共有四条，它们的有穷远点称为二次曲线的焦点．焦点的极线［2］137称为准线．［5］53定理1定点P关于二次曲线的所有共轭点必共线C．直线C称为P的极线，P称为C的极点．［5］179定理2无穷远直线的齐次方程为x3=0(注意:无穷远直线无非齐次方程)．2主轴、焦点和准线研讨2．1抛物线的主轴、焦点与准线2证明:设

4、抛物线方程为y=2px，则过I，J点可作两条迷向切线(即通过圆点的有穷切线)．设过I(1，i，0)222的切线方程为y=ix+m，代入抛物线方程(ix+m)=2px，整理得x－2(mi－p)x－m=0．∵相切，∴222Pp判别式为0．即(mi－p)+m=0，从而，－2mip+p=0，因此m=．故得切线方程为y=ix+．同2i2ipy=ix+p2ip理可得J(1，－i，0)的切线方程为y=－ix－．由，即得焦点坐标为(，0)，2i{p2iy=－ix－2i收稿日期:2011－05－20作者简介:宋占奎(1947－)，男，陕西大荔人，湖北十堰职业技术学院教授，

5、主要从事数学教学与研究。·80·æ00－pöæxö2æxö极线为:(p，0，1)ç÷ç÷=(－p，0，p)ç÷=p(x+p)=0，010yy2iç÷ç÷2ç÷2è－p00øè1øè1ø2px2－2px1x2=0∴x=－即是极线方程．再求抛物线上的无穷远点:{，2x=03xy1p即得无穷远点为(1，0，0)．主轴方程为:01=0，化简得y=0，则得主轴为x轴．21002．2椭圆的主轴、焦点和准线22xy证明:设椭圆方程为+=1(a＞b)，则过I，J可作四条切线．又设过I(1，i，0)的切线方程为y=ix22ab22222222222222+m代入椭圆方程，

6、得bx+a(ix+m)=ab，(b－a)x+2amix+am－ab=0．∵相切，∴判422222222222222别式为0．即－am－(b－a)a(m－b)=0，m=(b－a)=－(a－b)．令a－b=c，∴m=±ci．因此得切线方程为y=ix+ci=i(x+c)与y=ix－ci=i(x－i)．同理可得J(1，－i，0)的两条切线:y=－i(x+c)与y=－i(x－c)．y=i(x+c)y=i(x+c)y=i(x－c)y=i(x－c)又由:{，{，{，{．y=－i(x+c)y=－i(x－c)y=－i(x+c)y=－i(x－c)得焦点:F1(－c，0)，F

7、2(c，0)及虚焦点:G1(0，ci)，G2(0，－ci)．主轴为F1F2与G1G2．xy1其中，F1F2:－c01=2cy=0;同理，G1G2:2cix=0．c01∴F1F2:y=0(主轴，x轴)，G1G2:x=0(y轴，主轴)．对应准线的方程分别为:2æb00öæxö2F(－c，0):(－c，0，1)，ç2÷ç÷=－b2(cx+a2)=0，∴x=－a;10a0yçç÷÷ç÷cè00－a2b2øè1ø222abb同理，F2(c，0):x=;G1(0，ci):y=;G2(0，－ci):y=－．ccici2．3双曲线的主轴、焦点与准线22xy证明:设双曲线

8、方程为－=1，过I，J可作它的四条切线．22ab222222设过I(1，i，0)