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《一个自催化振动模型的概周期解与周期解.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第17卷第3期湖北工学院学报2OO2年9月VOl.17NO.3JOurnalOfHubeiPOlytechnicUniversitySep.2OO2===================================================================[文章编号]1OO3-4684(2OO2O9-OO56-O3一个自催化振动模型的概周期解与周期解陈水林(湖北工学院数理系湖北武汉43OO68[摘要]利用概周期解的扰动原理及POinCare的周期理论讨论一个自催化振动模型在周期外力作用下带强迫项后
2、的概周期解及周期解的存在性.[关键词]概周期解;周期解;指数型二分法[中图分类号]0175.13[文献标识码]A文献[1]已讨论了系统2a2--2k-2-2kZI=a-ZI-Iy.(3-2(12a2Ly=ZIIy-y62k2COsctLkZJ的奇点性态及极限环的存在与唯一性指出了该系式(3的线性部分统在一定条件下会出现振荡现象.下面笔者讨论这22ak个自催化反应在周期外力作用下变成的系统-(kZ-2dkZ-2=(4I=a-ZI-IydtD22akD-2(2kZ2-1Ly=ZIIy-y6aCOsctLkZJ的概周期解及周期解
3、的情况.的特征方程为22ak22/(2-k-Z-1/kZ=O.kZ1概周期解的存在性当2ak/(k22Z?kZ1时其两根的实定理1如果2ak/(k2Z?k2Z1则存部均不为零因而式(4满足指数型二分法又式(4有唯一的有界周期解即平衡点(OO.令在a对于满足Oaa的每个aO=aO(aZkcO式(2有连续依赖于a的概周期解(I(tay(ta-2-2k-a22kZ存在并且当a-O时它趋向于式(1的平衡点(t=.2a2(a/(k2Zk.2k2COsctLkZJ证明作变换I=a/(k2Zy=k则式(2变为对每一固定的>O(t关于是t
4、的一-=-(k2Z-2ka/(k2Z-22-致概周期函数并且(属于某一有界闭集时有222k-a/(kZ(tIy-(t((Iy-(-22ka22于是由文献[2]定理1.3知存在aO=aO(aZ=(kZ(2-1kZkc对于满足OaaO的每个a式(3有连续依L22Z(a/COsct.2ka/(k赖于a的概周期解((ta(ta从而式(2有连令2=a则续依赖于a的概周期解(I(tay(ta并且当a-(k2Z-2ak-O时(I(tay(ta趋向于式(1的平衡点2dkZ2=(a/(kZk.dtD22akDkZ-1定理2如果2ak/(k2
5、2L2JZ=kZ1c=kZ[收稿日期]2OO2-O5-O6[作者简介]陈水林(1968-男湖北崇阳人湖北工学院讲师研究方向基础数学.Z湖北工学院学报ZOOZ年第3期ZZ据文献[3]定理Z,式(7)的派生系统Z+Z,且a=3,Z=Z-,则存在UO=UO(,Z,a),对满足OSUSUO的每个U,式(Z)有连续依赖dII=A+B于U的概周期解(I(t,U),y(t,U)),当U趋于零时,它dt(yJ(yJ趋向于(a/(Z+Z),)-有概周期解证明令C=I-a/(Z+Z),u=I+y-(I(t)t1=exp(A(t-s))ds=Z
6、Z-ZLy(t)Oc-m+a/(+Z)),式(Z)变为u-=-u+C+UcOSct,cSinct-mSinmt+cOSct-cOSmt-Zc-C=-(+Z+1)u+C-(C+(5)mcOSct-mcOSmt-Sinct+SinmtLmaZZ)(u-C)-ZC(u-C).记L+Z令m=Z+Z,u=UI,C=U(I+my),则式I(t)I(t)C1=+0(t)=(y(t)JLy(t)LCZ(5)可写成,A/dIZZ+C1cOSmt+CZSinmt=my+cOSct,c-mdt.B/mC/dI=-mI-1cOSct-Uf(I,y
7、,U),ZZ+ZZ-C1Sinmt+CZcOSmtLc-mm(c-m)Ldtm(9)其中f(I,y,U)=myZ(U(I+my)+a)-Z+Z其中,A/=cSinct-mSinmt+cOSct-cOSmt,B/Zy(I+my),即=cOSct-cOSmt,C/=-cSinct+mSinmt-于是dIOmI0-1(s)F(I(s),y(s),s,O)==+dt(yJ(-mOJ(yJcOSms-SinmsOcOSct=O(SinmscOSmsJ(-f(I,y,O)J1+U.(6)-cOSct(-f(I,y,U)JaZ-Sinm
8、sLm(ZyI+(Zm-)y).m(cOSmsJ由上述变换的逆变换可知,式(6)若存在概周期解,令c=Zm,将上式代入则式(Z)亦存在概周期解-1记,P(C1,CZ)=lim-t-OtcOScttOm0-1(s)F(I(s),y(s),s,O)ds=O,A=,B=1,O(-mOJ-cOSctLm经一系列
