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1、2014年9月伊犁师范学院学报（自然科学版）Sept.2014第3期肖艳艳：双扭Hopf代数的分次Hopf理想63第8卷第3期JournalofYiliNormalUniversity（NaturalScienceEdition）Vol.8No.3双扭Hopf代数的分次Hopf理想肖艳艳（南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院，江苏泰州225300）摘要：引入双扭Hopf代数的分次余理想（分次双理想、分次Hopf理想）以及分次子代数（分次子双代数、分次子Hopf代数）的概念，研究局部有限的双扭Hopf代数的分次余理想（分次双理想、分次Hopf理想）的对偶
2、问题，得到一个局部有限的双扭Hopf代数的分次子空间是分次余理想（分次双理想、分次Hopf理想）的一个等价条件.关键词：双扭Hopf代数；分次余理想；分次双理想；分次Hopf理想；分次子代数；分次子双代数；分次子Hopf代数中图分类号：O153.3文献标识码：A文章编号：1673—999X（2014）03—0001—06Hopf代数已经成为当今数学最活跃的领域之一，它的理论研究不断延伸，并与数学其他领域建立起密切的联系.作为Hopf代数的一个推广，由Ringe在文献[1]中引入并讨论NI-分次扭余代数之后，扭Hopf0代数与双扭Hopf代数也被引入和研究
3、.而扭的Hopf代数在特定条件下是通常的Hopf代数.文献[2，3]研究了扭Hopf代数的性质，文献[4～7]分别研究了双扭Hopf代数的性质、构造，以及双扭Hopf代数间的对偶与双扭Hopf代数的分次理想的对偶空间等.本文将在文献[7]的基础上进一步研究双扭Hopf代数的分次余理想、分次双理想、分次Hopf理想的对偶问题，分别给出一个局部有限的双扭Hopf代数的分次子空间是分次余理想、分次双理想、分次Hopf理想的等价条件.1预备知识本文采用文献[8～10]的符号记法.设K是一个域，文中所涉及的代数、余代数、双扭Hopf代数均是指域K上的.另设c是K中
4、一个非零元，I是任意一个集合.以ZI表示一个以I为基的Abel群，其中ZI={
5、x=()xiiI∈对任意的iI∈有xZi∈，且对几乎所有的iI∈有xi=0}.以NI0表示ZI的一个子集，其中NI={x=∈∈()xZIxN，对任意的iI∈}.定义χ:ZI×→ZIZ为ZI上的一个Z-值双线性函数，并0iiiI∈0TTT令χ满足：对任意的xy,∈ZI，χχ(xy,,)=(yx)，则χ也是ZI上的一个Z-值双线性函数.下面参考文献[4]给出双扭双代数、双扭Hopf代数的定义，并在此基础上引入双扭Hopf代数的分次余理想与分次子代数的概念.定义1.1设HH=⊕是一
6、集K-子空间的直和，χ:ZI×→ZIZ，i=1,2是Z-值双线性函数，若xixNI∈0HH=⊕满足条件：xxNI∈0收稿日期：2014-05-23作者简介：肖艳艳（1981—），女，江苏姜堰人，讲师，硕士，从事Hopf代数研究.2伊犁师范学院学报（自然科学版）2014年（1）(Hm,,µ)是NI-分次K-代数；0（2）(H,,δε)是NI-分次K-余代数；0（3）δ:HHH→⊗()是分次K-代数同态，其中(HH⊗)中的乘法为：对任意的齐次元(χχ12,)(χχ12,)⊗∗⊗=′′χχ121(hh,,′′)+212(hh)′′⊗；hhhhH1212,,,′
7、′∈，满足：(hhhhc1212)()(h1hh12h2)（4）存在NI-分次K-线性映射sHH:→（即对任意的xNI∈，sH()⊆H）满足：00xxsid∗=∗=idsµε，其中∗表示Hom(HH,)中的卷积，即对任意的fg,∈Hom(HH,)，KKfgmfg∗=(⊗)δ，则称HH=⊕为(KcI,,,,(χχ))-Hopf代数，简称双扭Hopf代数.x12xNI∈0定义1.2设DD=⊕是双扭Hopf代数H=⊕Hm,,,,,µδεs的分次子空间，若对任意的x(x)xNI∈0xNI∈0xNI∈0，δ(Dx)⊆∑∑HDxx12⊗+DHyy12⊗，则称D是H的
8、分次余理想.xxx=12+=xyy12+定义1.3设II=⊕是双扭Hopf代数H=⊕Hm,,,,,µδεs的分次子空间，若对任意的x(x)xNI∈0xNI∈0xyNI,∈，mI(⊗⊆I)I，则称I是H的分次子代数.0xyxy+进一步，参考文献[7]中双扭Hopf代数的分次理想、分次子余代数的定义，给出双扭Hopf代数的分次双理想、分次Hopf理想以及分次子双代数、分次子Hopf代数的定义.定义1.4设H=⊕Hm,,,,,µδεs是一个双扭Hopf代数，若DD=⊕既是H的分次理想，又是(x)xxNI∈0xNI∈0H的分次余理想，则称D是H的一个分次双理想.
9、进一步，若D是H的一个分次双理想，且s满足：对任意的xNI∈，sD()⊆D，则称
