第3章 刚体力学3.3

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1、例1半径为30cm的飞轮，从静止开始以0.5rad·s-2的匀角加速度转动。求飞轮边缘上一点P在飞轮转过y240°时的角速度、速度和加速度。解：飞轮转过240°时的角位移∆θPOxπ4∆θ=θ-θ=240×=π0180322-2由ω=ω0+2α(θ−θ0)，ω0=0，α=0.5rad⋅s得2πω=ω+2α(θ−θ)=2−100rad⋅s3速度的大小为ω=ω+αt012ππθ=θ+ωt+αtv=ωr=2×0.3=0.6−1002m⋅s3322ω=ω+2α(θ−θ)002切向加速度和法向加速度分别为α=0.5rad/s−2a=αr=0.5×0.3=0.15m⋅st24π−2a=ωr

2、=×0.3=0.4πm⋅sn3���加速度为a=0.15e+0.4πetn加速度的大小为2222−2a=a+a=(0.15)+(0.4π)≈1.13m⋅stna��方向为θ=arctgn≈83.2°θ为a与v的夹角at例3.2质量为m，长为l，密度均匀的细杆，求：(1)它对过杆的中心且与杆垂直的z轴的转动惯量。(2)试分析，当转轴由质心开始沿杆的方向平移到杆的一端时，转动惯量如何变化。解：(1)以杆的中心C点为坐标原点，建立x坐标轴。思想：刚体由质点组成把杆分成许多无限小的质元，在x处取其中一质元2质点转动惯量：J=mr=λdx2dm其中λ=m/l其转动惯量为rdm2zJ=rd

3、mllC∫−222=λ∫xdxCxxl2dxml22==λxdx∫l−122(2)试分析，当转轴由质心开始沿杆的方向平移到杆的一端时，转动惯量如何变化。z′z′ll−(−d)d+d22OCAxxdx轴通过点O，选O为坐标原点。l32d+2m⎛l2⎞ml2J=λ2xdx=⎜+dl⎟=+md∫−(d-l)l⎜12⎟122⎝⎠细杆的一端A到点C的距离为d=l22222ml2ml⎛l⎞ml所以J=+md=+m⎜⎟=A1212⎝2⎠3J与转轴的位置有关zzmlmlOdxxOdxxl1l/221222J=∫xλdx=mlJ=∫−xλdx=ml03l/2122平行轴定理J=J+mdCz'zJ

4、:刚体绕任意轴的转动惯量dmCJ:刚体绕通过质心的轴cd:两轴间垂直距离例3.4斜面倾角为θ,位于斜面顶端的卷扬机的鼓�轮半径为r，转动惯量为J，受到驱动力矩M作用，通过绳索牵引斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为μ，求重物上滑的加速度。(绳与斜面平行，绳的质量不计，且不可伸长)�Mrmθ解题：1）隔离物体，分析受力：质点找出所有力；刚体找出相对于同一转轴有力矩的力。2）设定正方向（转动和平动的正方向要致），根据运动定律写出表达式。注：对于质点，将力分解在相互垂直的方向上，求每个垂直方向上的合力，根据牛顿第二定律列出表达式。F=maF=maxxyy对于刚体，求相对于同

5、一转轴的合力矩。M=Jα�M解：对物体：受力分析r选运动方向为正方向。根据牛顿第二定律，有mθx方向（正方向）T−f−mgsinθ=may��NTy方向N−mgcosθ=0�xff=μNθ对鼓轮：正方向垂直于纸面指向读者�P根据转动定律M−T′r=JαT=T′��rM其中a=rα�T′(M−μmgrcosθ−mgrsinθ)a=2J+mr例3.5一根细绳跨过固定在电梯顶部的定滑轮，滑轮的质量为m′，半径为R。在绳的两侧各悬挂有质量为M和m的小球(M>m)，设细绳的质量忽略不计，且细绳不可伸长。求：当电梯静止时，两球的加速度和细绳的张力。�T�m解：受力分析TMRmM���ama

6、M�Tm′�mT′P�MmPMMTM=TM′T=T′�？�mmTTMm选运动方向为正方向。��根据牛顿第二定律，有TTMm+Mg−T=MaMMT-mg=maMmmm��aMam根据刚体定轴转动定律，有��+PMPmT′R−T′R=JαMmTM=TM′Tm=Tm′R且有a=a=αRMm�12�T′滑轮的转动惯量为J=m′RT′mM2Mg−T=Ma(1)MMmg−T=−ma(2)mm将上面方程联TR′−TR′=Jα(3)Mm立，可解得TM=TM′Tm=Tm′(4)a=a=αR(5)Mm⎛1⎞m⎜2M+m′⎟g(M−m)g⎝2⎠aM=am=Tm=11M+m+m′M+m+m′22⎛1⎞

7、M⎜2m+m′⎟g⎝2⎠若将m′略去，即可T=M得到第二章例题11M+m+m′中的结果。2练习一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以2F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kg·m，飞轮与转轴间的摩擦不计，求(1)飞轮的角加速度；(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速。OFr980.2×2r解(1)Fr=Jαα===39.2rad/sT′J0.5两者区别T(2)mg−T=maFmgr+α=2T′r=JαJ+mrmga=rα98×0.22==21.8rad/s