第3章 刚体力学基础

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1、第3章刚体力学基础一、目的与要求1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。2．确切理解和掌握力矩、转动惯量的概念及计算方法，掌握刚体定轴转动的动力学方程，熟练应用刚体定轴转动定律求解刚体定轴转动及与质心联动问题。3．理解刚体转动动能概念。掌握力矩的功，刚体的重力势能，刚体的动能定理和机械能守恒定律。4．确切理解角动量概念，并能对含有定轴转动刚体在内的系统正确应用角动量定理及角动量守恒定律。5．了解进动现象和基本描述。二、内容提要1．刚体的基本运动刚体的平动：刚体运动时，在刚

2、体内所作的任一条直线始终保持和自身平行。其特点为：对刚体上任两点和，它们的运动轨迹相似，，。因此描述刚体的平动时，可用其上任一质点的运动来代表。刚体的定轴转动：刚体内各质元均作圆周运动，且各圆心在同一条固定不动的直线上。刚体的平面平行运动：刚体上每一质元均在平行于某一固定平面的平面中。2．力矩和转动惯量力矩：使刚体产生角加速度的外来作用转动惯量：刚体转动惯性大小的量度对于质量连续分布的刚体转动惯量的平行轴定理：转动惯量的垂直轴定理：223．刚体定轴转动定律：刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和等于刚体对该轴的转动

3、惯量与刚体的角加速度的乘积、、均相对于同一转轴。4．刚体定轴转动的动能定理力矩的功：转动动能：动能定理：机械能守恒定律：系统（包括刚体）只有保守力作功时，系统的动能（包括转动动能）与势能之和为常量，即常量5．刚体定轴转动的角动量定理及其守恒定律角动量定理：对一固定轴的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对时间的变化率，即角动量守恒定律：当时，常量。6．刚体的平面平行运动动能：作平面平行运动的动能等于质心的平动动能与刚体绕过质心的瞬时轴的转动动能之和三、例题3-1一轻绳绕于半径为的圆盘边缘，在绳端施以的拉力，圆盘可绕水

4、平固定光滑轴转动，圆盘质量为，圆盘从静止开始转动，试求（1）圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系。（2）如以质量的物体挂在绳端，再计算圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系。分析本题是刚体绕定轴转动问题，应用转动定律即可求出圆盘的角加速度，对转动定律积分可求解。解（1）圆盘所受的合外力矩为22对圆盘用转动定律，有因而角加速度为(1)由于，且时，，积分（1）式，有得(2)而，且时，，积分（2）式，有可得转动角度和时间的关系为（2）设为绳子的张力，对圆盘，由转动定律有(4)对物体，由牛顿定律，有(5)而(6)联立

5、（4）、（5）、（6）式，即可解得转动角度与时间的关系为(7)由，，且时，，。通过对（7）式积分，即可得转动角度与时间的关系为(8)说明22本题的第二问是典型的刚体与质点连接的联体问题，可采用隔离研究，对质点用牛顿定律，对刚体用转动定律，并注意与（1）问的区别。同时，从（7）式可明显看出，这类问题也可将系统看成一个转动惯量为的刚体，运用转动定律求解。3-2长为，质量分布不均匀的细杆，其线密度为（、为常量），细杆可绕轴在铅直平面内转动，如图所示，忽略轴的摩擦力，将杆从水平位置释放，试求杆转到铅直位置时，杆所具有的

6、角速度。分析这是一个刚体绕定轴转动问题。当求细杆重力对轴的力矩时，因杆质量不均匀，要先恰当地求出元力矩，通过积分求，然后采用转动定律形式，积分即可求。解设时刻杆与垂线间的夹角为，由于杆的质量不均匀，求重力对轴的力矩时，可在杆上取线元，该线元对轴的力矩为对轴的总力矩为细杆的质量不均匀，因此其对轴的转动惯量为根据转动定律，有积分变量替换代入上式化简得22初始条件时，，当转到时，积分上式得说明本题有多种解法。题中给出了用转动定律求解的方法，也可用动能定理，机械能守恒定律求解。读者可自己考虑。3-3一均质细杆，长为，质

7、量为，可绕通过一端的水平轴转动，如图。一质量为的子弹以速度射入细杆，子弹射入点离点的距离为，试求（1）杆刚开始运动时的角速度及可摆到的最大角度。（2）求轴上的横向力为零时，子弹射入的位置（即打击中心位置）。分析子弹射入细杆过程中，子弹、细杆系统角动量守恒；细杆摆动时，机械能守恒，由两守恒定律可求及。子弹射入细杆，细杆轴受力，轴受横向力的冲量应等于子弹、细杆系统动量的改变，横向力时，即可求出打击中心位置。解（1）子弹射入细杆过程极其短暂，此过程中杆的位置还来不及变化，故子弹和细杆这个系统的重力对定轴无力矩，轴力当

8、然也无力矩，故这个系统在子弹射入过程中对定轴的角动量守恒(1)射入后子弹与杆共同摆动过程中，系统机械能守恒，取子弹射入处为势能零点(2)联立（1）、（2）可解得杆的角速度及可摆到的最大角度分别为22（2）将子弹和细杆视为一个系统，则系统受的外力为，，，，如图，设子弹打在距轴处，根据动量定理(3)系统对轴角动量守恒，有因而(4)将（4）式代入（3）式当时，则解此方程得此即打击中心的位置。