【精品】第3章 刚体力学基础.doc

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1、第3章刚体力学基础一、目的与要求1•确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并学握角量与线量的关系。2.确切理解和学握力矩、转动惯量的概念及计算方法，学握刚体定轴转动的动力学方程，熟练应用刚体定轴转动定律求解刚体定轴转动及与质心联动问题。3.理解刚体转动动能概念。掌握力矩的功，刚体的重力势能，刚体的动能定理和机械能守恒定律。4.确切理解角动量概念，并能对含有泄轴转动刚体在内的系统正确应用角动量定理及角动量守恒定律°5.了解进动现象和基本描述。二、内容提要1・刚体的基本运动刚体的平动：刚体运动时，在刚体内所作的任一条直线始终保持和自身平

2、行。其特点为:对刚体上任两点A和它们的运动轨迹相似，vA=v8,aA=a80因此描述刚体的平动时，可用其上任一质点的运动来代表。刚体的定轴转动：刚体内各质元均作圆周运动，且各圆心在同一条固定不动的直线上。刚体的平面平行运动：刚体上每一质元均在平行于某一固定平面的平面中。2.力矩和转动惯量力矩：使刚体产生角加速度的外來作用M=rxF转动惯量：刚体转动惯性大小的量度J=工加i对于质量连续分布的刚体J=[r2dmJV转动惯量的平行轴定理：厶=Jc+md-转动惯量的垂直轴定理：J；=Jx+J、3.刚体定轴转动定律：刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和等•丁

3、•刚体对该轴的转动惯量与刚体的角加速度的乘积drM、/3、J均相对于同一转轴。2.刚体定轴转动的动能定理力矩的功：A=M（e转动动能：Ek=丄Jco1'2动能定理：A=丄Joj；-丄丿材机械能守恒定律：系统（包括刚体）只有保守力作功时，系统的动能（包括转动动能）与势能之和为常量，即E=Ek+Ep=常量3.刚体定轴转动的角动量定理及其守恒定律角动量定理：对一固定轴的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对时间的变化率，即角动量守恒定律：当M:=0时，J:a）=常量。4.刚体的平面平行运动动能：作平面平行运动的动能等于质心的平动动能与刚体绕过质心的瞬时轴

4、的转动动能Z和厂I21『2E.=—mv+_Ja）k22三、例题3-1一轻绳绕于半径为/?的圆盘边缘，在细端施以F=mg的拉力，圆盘可绕水平固定光滑轴转动，圆盘质量为M，圆盘从静止开始转动，试求（1）圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系。（2）如以质量加的物体挂在绳端，再计算圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系。分析本题是刚体绕定轴转动问题，应用转动定律M=J/3即可求出圆盘的角加速度，对转动定律积分可求解⑵二0（/）O解（1）圆盘所受的合外力矩为M=FR对圆盘用转动定律，有FR=J0=（gMR2）0因而角加速度为2F7?二2吨MR2MR由丁0

5、=03,且f=0时，=0,积分（1）式，有CO=2血g~MRd£dT且f=0时，&=0,积分（2）式，有可得转动角度和时间的关系为MR（2）设厂为绳子的张力，对圆盘，由转动定律有TR=£mr2）0对物体刃，由牛顿定律，有mg-T=ma而a=R/3联立（4）、（5）、（6）式，即可解得转动角度与时间的关系为(7)二mgR二2加g1入“2.D2MR+2mR—MR+inR2由0=,e=°?,且r=0时，0=0,0=0。通过对（7）式积分，即可得转drdr动角度与时间的关系为mg(2MR+2mR说明本题的第二问是典型的刚体与质点连接的联体问题，可采用隔离

6、研究，对质点用牛顿定律，对刚体用转动定律，并注意与（1）问的区别。同时，从（7）式可明显看出，这类问题也可将系统看成一个转动惯量为丄MR?+点的刚体，运用转动定律求解。23-2长为/，质量分布不均匀的细杆，其线密度为A=a+br（a>b为常量），细杆可绕轴Z在铅直平面内转动，如图所示，忽略轴Z的摩擦力，将杆从水平位置释放，试求杆转到铅直位置时，杆所具有的角速度⑵。分析这是一个刚体绕定轴转动问题。当求细杆重力对轴的力矩时，因杆质量不均匀，要先恰当地求出元力矩dM一，通过积分求M.,然后采用转动定律M=J—=Ja）—形式，积分即可求G。解设f时刻杆与

7、垂线间的夹角为〃，由于杆的质量不均匀，求重力对z轴的力矩时,可在杆上取线元d厂，该线元对z轴的力矩为dM一=-（Adr）^rsin/?对Z轴的总力矩为I=-jg(6/+Z?r)rsin0细杆的质量不均匀，因此其对z轴的转动惯量为IIJ.=J=Jr2（2d/*）00=j(a+br)dr0=-al3+-bl434根据转动定律M.=J—,有zzdr詁牛汕宀（*+扫号积分变量替换doj—=codtdcodi代入上式化简得——能+紳歸唱+荻讹初始条件吩时,60=0,当转到0=0时，积分上式0jej_g(彳+纽血闭0=怡7]4(3a+2bl)g(4d+3勿"

8、说明本题有多种解法。题中给出了用转动定律求解的方法，也可用动能定理，机械能守恒定律求解。读者可自己考虑。3-3一均质细杆，长为儿质量为M