第3章 刚体力学

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1、茹可夫斯基凳第3章刚体的定轴转动本章内容3.1刚体运动学3.2力矩刚体绕定轴转动的转动定律3.4刚体绕定轴转动的动能和动能定理3.3角动量角动量矩守恒定律刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动、转动.1平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.3.1刚体运动学3.1.1刚体的平动和转动⑴刚体是理想模型。说明：⑵刚体模型是为简化问题引进的。平动的特点:刚体的平动可归结

2、为质点运动xyzOABM刚体中各质点的运动情况相同定轴转动演示定点转动演示O转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.2刚体绕定轴转动定轴转动刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动（用角量描述）转轴固定不动—定轴转动刚体的一般运动可看作：随质心的平动绕质心的转动+的合成刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+刚体绕定轴转动zMIIIP角坐标角速度角加速度描述刚体绕定轴转动的角量3.1.2角速度矢量和角加速度矢量1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2

3、）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.定轴转动的特点3.1.2角速度矢量和角加速度矢量大小：1角速度矢量方向：(a)(b)2角加速度矢量定轴转动：设转轴与z轴重合，则有1角速度矢量大小：方向：(a)3角量与线量的关系*匀变速转动公式刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比例1半径为30cm的飞轮，从静止开始以0.5rad·s-2的匀角加速度转动。求飞轮边缘上一点P，在飞轮转过240°时的角

4、速度、速度和加速度。解：设转轴z垂直于纸面指向读者，且t=0时刻，点P的角位置，角速度。则t时刻，P运动到P′点的角位置为由得点P在t时刻的角速度的大小为速度的大小为切向加速度和法向加速度分别为加速度为加速度的大小为方向为为与的夹角3.2力矩刚体绕定轴转动的转动定律一.力矩力改变刚体的转动状态刚体获得角加速度力F对Z轴的力矩力矩取决于力的大小、方向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向••••质点获得加速度改变质点的运动状态？hAP*O:力臂刚体绕OZ轴旋转,力作用在刚体上点P,且在转动平面内

5、,为由点O到力的作用点P的径矢.对转轴Z的力矩一力矩3.2力矩刚体绕定轴转动的转动定律单位：牛顿米力矩取决于力的大小、方向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向讨论2）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩hA1)力对点的力矩O.力对转轴的力矩只是力对参考点O的力矩在转轴方向上的分量。4）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O3）合力矩等于各分力矩的矢量和一对内力对参考点O的合力矩为零。刚体的转动定律作用在刚体上所有的外力对定轴z轴的力

6、矩的代数和刚体对z轴的转动惯量(2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同实验证明当M为零时，则刚体保持静止或匀速转动(3)与牛顿定律比较：讨论在国际单位中k=13.2.2刚体对定轴的转动定律当存在M时，与M成正比，而与J成反比(1)M正比于，力矩越大，刚体的越大刚体的定轴转动定律理论推证O对质元：对刚体上所有质元：为零取一质量元所以有O在自然坐标系下力对z轴的力矩为合外力对z轴的合力矩为合外力对z轴的合力矩为合外力对z轴的合力矩为将代入上式，有设------转动惯量合外力矩M刚体的转动惯量J刚

7、体的转动定律刚体的定轴转动定律：作定轴转动的刚体，在总外力矩M的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比。定义式质量不连续分布质量连续分布计算转动惯量的三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置•3.2.3转动惯量J的意义：转动惯性大小的量度。转动惯量的单位：kg·m2例1质量为m，长为l，密度均匀的细杆，求：(1)它对过杆的中心且与杆垂直的z轴的转动惯量。(2)试分析，当转轴由z轴开始沿杆的方向平移到杆的一端时，转动惯量如何变化。解：(1)把杆分成许多无限小的

8、质元，杆的线密度为λ，以z轴与杆的交点C为坐标原点，建立坐标轴。在距离z轴x处，选取一质元dx，则该质元的质量为其中(1)J与刚体的总质量有关(2)细杆的一端A到点C的距离为所以OLxdxMzLOxdxM平行轴定理zdCMz'z(3)J与转轴的位置有关:刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离(2)J与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrR---转动惯量的平行轴定理影响转动惯量大小