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1、第26卷第10常熟理工学院学报（自然科学）Vol.26No.102012年10月Oct.,2012JournalofChangshuInstituteTechnology（NaturalSciences）Spectrum-generating超代数的一类子代数的研究122郭娜，刘东，高寿兰（1.杭州电子科技大学理学院，浙江杭州310000；2.湖州师范学院理学院，浙江湖州313000）摘要：研究spectrum-generating超代数的一类子代数，确定了这类子代数的低阶上同调群以及自同构群.这类子代数对于讨论N=2-超共形代数上
2、Harish-Chandea模的分类很有意义.关键词：李超代数；导子代数；中心扩张；自同构中图分类号：O152.5文献标识码：A文章编号：1008-2794（2012）10-0027-051引言[1]超共形代数与共形场论和弦理论紧密联系，在数学与物理学有重要作用.N=2-超共形代数是复维[2][3]数-D的Calabi-Yau流形上的弦紧致分析的基本工具.它的表示理论和Kac-Roan-Wakimoto猜想有关.为了对N=2-超共形代数上的Harish-Chandra模进行分类，我们需要研究下面的李超代数，它是Spectrum-ge
3、n⁃[4]erating超代数的一个子代数.ì定义李超代数Α作为C上的向量空间的基为íLn,Gn+1
4、n∈Ζ}，并且满足下面的等式关系：î2[Lm,Ln]=(n-m)Lm+n1[Lm,Gk]=(k+m)Gm+k2[Gk,Gl]=01∀m,n∈Ζ且k,l∈Ζ+.2本文重点讨论李超代数Α的结构理论，包括它的导子代数、二上同调群、自同构群等.我们分别用C，Q∗和Z来定义复数集、有理数集和整数集.对于任意集合S，定义它的非零元素集合为S.2泛中心扩张首先我们回顾李超代数L上的二上循环，它是C-双线性函数：ψ：L×L→C并且满足下面的关系式：
5、
6、v1
7、v2
8、ψ(v,v)=-(-1)ψ(v,v)（2.1）1221收稿日期:2012-08-21基金项目：国家自然科学基金项目“Virasoro代数及相关代数的结构与表示理论”（11071068）；国家自然科学基金项目“共型流李代数的结构和表示”（11201141）；浙江省自然科学基金项目“Virasoro型李代数与顶点算子代数的研究”（Y6100148）；浙江省自然科学基金项目“无限维李代数与顶点算子（超）代数的结构域表示”（LQ12A01005）作者简介：郭娜（1986—），女，河南南阳人，杭州电子科技大学2010级研究生，研
9、究方向：李代数.28常熟理工学院学报（自然科学）2012年
10、v1
11、v2
12、ψ(v,[v,v])=ψ([v,v],v)+(-1)ψ(v,[v,v])（2.2）1231232132对任意的v,v,v∈L，定义L上的二上循环的向量空间为C(L,C).123对任意的C-线性函数f：L→C，定义二上循环ψ如下：对任意的v,v∈L，ψ(v,v)=f([v,v]).f12f1212这样的二上循环我们称为L上的二上边界或者平凡二上循环.2定义L的二上边界的向量空间为B(L,C).如果ϕ-ψ是平凡的，那么我们称二上循环ϕ与二上循环ψ222是等价的.对于
13、一个二上循环ψ，定义它的等价类为[ψ].商空间H(L,C)=C(L,C)/B(L,C)=｛二上循环的等价类｝，被称为L的二阶上同调群.众所周知，Virasoro循环的二上循环由下式确定：3m-mξ(L,L)=δ.Virmnm,-n122定理1dimH(Α,C)=2，其中关于Α的常见的不平凡二上循环如下：ψ(L,L)=ξ(L,L)1mnVirmnψ(G,G)=δ2klk+l,01∀k,l∈Z+，其他相互作用项为零.21证明根据李超代数运算的作用我们容易得到等式G=[L,G].定义C上的线性函数f：Α→C如r0rr11下：f(G)=ψ(
14、L,G)，r∈Z+.r0rr2令ϕ=ψ-ψ-ξ，其中ψ满足ψ(v,v)=f([v,v]).fVirff1212那么我们得到ϕ(LL)=0对任意的m,n∈Z成立.m,n定理1可由下面的引理1-3得到.1引理1对任意的r∈Z+，ϕ(LG)=0.0,r2证明ϕ(LG)=ψ(LG)-ψ(LG)=rf(G)-f([LG])=rf(G)-f(rG)=0.0,r0,rf0,rr0,rrr1引理2对任意的m∈Z，r∈Z+，2ϕ(L,G)=0（2.3）mr1证明对任意的m∈Z，r∈Z+，我们将Jacobian等式作用在(L,L,G)，就得到mir-i
15、20ϕ(L,[L,G])=ϕ([L,L],G)+(-1)ϕ(L,[L,G])，mir-imir-iimr-iim(r-)ϕ(L,G)=(i-m)ϕ(L,G)+(r-i+)ϕ(L,G).mrm+ir-iir+m-i22令i=0，即mrϕ
