5.2 代数系统及其子代数、积代数

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1、山东政法学院教案模版授课时间十一周第1次课授课章节5.2代数系统及其子代数、积代数任课教师及职称唐新华讲师教学方法与手段板书和电子课件结合课时安排1课时使用教材和主要参考书1、教材：耿素云等，离散数学，清华大学出版社，20082.参考书左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006教学与目的要求：了解子代数和积代数的基本概念教学重点、难点:重点：子代数和积代数的基本概念和性质难点：子代数和积代数的性质教学内容:5.2代数系统及其子代数、积代数一、本节主要内容代数系统定义同类型与同种的代数系统子代数积

2、代数二、教学内容代数系统定义与实例定义非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…,fk组成的系统称为一个代数系统,简称代数，记做V=.例：有的代数系统定义指定了S中的特殊元素，称为特异元素或代数常数,例如二元运算的幺元.有时也将代数常数作为系统的成分.例：实例1.,,是代数系统，+和·分别表示普通加法和乘法.2.是代数系统，+和·分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法.山东政法学院教案模版3.

3、是代数系统，Zn＝{0,1,…,n-1}，Å和Ä分别表示模n的加法和乘法，"x,y∈Zn，xÅy=(x＋y)modn，xÄy=(xy)modn4.也是代数系统，∪和∩为并和交，~为绝对补子代数定义设V=是代数系统，B是S的非空子集，如果B对f1,f2,…,fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称是V的子代数系统，简称子代数.例是的子代数.(因为N对＋封闭，而且都没有代数常项)。同样，

4、{0},+>是的子代数.是的子代数.(因为N对＋封闭，而且都有相同的代数常项0)不是的子代数.说明：对于任何代数系统V，其子代数一定存在.关于子代数的术语最大的子代数就是V本身.如果V中所有代数常数构成集合B，且B对V中所有运算封闭，则B就构成了V的最小的子代数.最大和最小子代数称为V的平凡的子代数.若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数.例2设V=，令nZ={nz

5、z∈Z}，n为自然数，则nZ是V的子代数.当n=1

6、和0时，nZ是V的平凡的子代数，其他的都是V的非平凡的真子代数.积代数定义设V1=和V2=是代数系统，其中o和*是二元运算.V1与V2的积代数是V=,",ÎS1´S2,∙=例3V1=,V2=,积代数",ÎZ´M2(R),o=积代数的性质定理设V1=

7、和V2=是代数系统，其中o和*是二元运算.V1与V2的积代数是V=(1)若o和*运算是可交换的，那么∙运算也是可交换的(2)若o和*运算是可结合的，那么∙运算也是可结合的(3)若o和*运算是幂等的，那么∙运算也是幂等的(4)若o和*运算分别具有单位元e1和e2，那么∙运算也具有单位元(5)若o和*运算分别具有零元q1和q2，那么∙运算也具有零元山东政法学院教案模版(6)若x关于o的逆元为x-1,y关于*的逆元为y-1，那么关于∙运算也具有逆元<

8、x-1,y-1>复习思考题、作业题：设V1=和V2=是代数系统，其中o和*是二元运算.V1与V2的积代数是V=(1)若o和*运算是可交换的，那么∙运算也是可交换的(2)若o和*运算是可结合的，那么∙运算也是可结合的(3)若o和*运算是幂等的，那么∙运算也是幂等的(4)若o和*运算分别具有单位元e1和e2，那么∙运算也具有单位元(5)若o和*运算分别具有零元q1和q2，那么∙运算也具有零元(6)若x关于o的逆元为x-1,y关于*的逆元为y-1，

9、那么关于∙运算也具有逆元下次课预习要点：同态映射的定义同态映射的分类单同态、满同态、同构自同态同态映射的性质实施情况及教学效果分析:院系部审核意见:山东政法学院教案模版院系部负责人签字年月日