离散数学5.2代数系统及其子代数、积代数.ppt

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1、代数系统定义同类型与同种的代数系统子代数积代数5.2代数系统及其子代数、积代数1代数系统定义与实例定义非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…,fk组成的系统称为一个代数系统,简称代数，记做V=.例：有的代数系统定义指定了S中的特殊元素，称为特异元素或代数常数,例如二元运算的幺元.有时也将代数常数作为系统的成分.例：2实例1.,,是代数系统，+和·分别表示普通加法和乘法.2.是代数系统，+和·分别

2、表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法.3.是代数系统，Zn＝{0,1,…,n-1}，和分别表示模n的加法和乘法，x,y∈Zn，xy=(x＋y)modn，xy=(xy)modn4.也是代数系统，∪和∩为并和交，~为绝对补3子代数定义设V=是代数系统，B是S的非空子集，如果B对f1,f2,…,fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称是V的子代数系统，简称子代数.例是的子代数.(因为N对＋

3、封闭，而且都没有代数常项)。同样，是的子代数.是的子代数.(因为N对＋封闭，而且都有相同的代数常项0)不是的子代数.说明：对于任何代数系统V，其子代数一定存在.4关于子代数的术语最大的子代数就是V本身.如果V中所有代数常数构成集合B，且B对V中所有运算封闭，则B就构成了V的最小的子代数.最大和最小子代数称为V的平凡的子代数.若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数.例2设V=，令nZ={nz

4、z∈Z}，n

5、为自然数，则nZ是V的子代数.当n=1和0时，nZ是V的平凡的子代数，其他的都是V的非平凡的真子代数.5积代数定义设V1=和V2=是代数系统，其中o和是二元运算.V1与V2的积代数是V=,,S1S2,∙=例3V1=,V2=,积代数,ZM2(R),o=

6、6积代数的性质定理设V1=和V2=是代数系统，其中o和是二元运算.V1与V2的积代数是V=(1)若o和运算是可交换的，那么∙运算也是可交换的(2)若o和运算是可结合的，那么∙运算也是可结合的(3)若o和运算是幂等的，那么∙运算也是幂等的(4)若o和运算分别具有单位元e1和e2，那么∙运算也具有单位元(5)若o和运算分别具有零元1和2，那么∙运算也具有零元<1,2>(6)若x关于o的逆元为x1,y关于的逆元为y1，那么关于∙运

7、算也具有逆元75.3代数系统的同态与同构同态映射的定义同态映射的分类单同态、满同态、同构自同态同态映射的性质8同态映射的定义定义设V1=和V2=是代数系统，其中∘和是二元运算.f:S1S2,且x,yS1,f(x∘y)=f(x)f(y),则称f为V1到V2的同态映射，简称同态.9更广泛的同态映射定义定义设V1=和V2=是代数系统，其中∘和是二元运算.f:S1S2,且x,yS1f(x∘y)=f(x)f(y),f(x∙y)=f(

8、x)◊f(y)则称f为V1到V2的同态映射，简称同态.设V1=和V2=是代数系统，其中∘和是二元运算.∆和∇是一元运算，f:S1S2,且x,yS1f(x∘y)=f(x)f(y),f(x∙y)=f(x)◊f(y),f(∆x)=∇f(x)则称f为V1到V2的同态映射，简称同态.10例V1=，V2=，Zn={0,1,…,n-1},是模n加.令f：Z→Zn，f(x)=(x)modn则f是V1到V2的同态.x,y∈Z有f(x+y)=(x+y)mo

9、dn=(x)modn(y)modn=f(x)f(y)例V1=，V2=f：RR＋,f(x)=ex11例题例1V=,判断下面的哪些函数是V的自同态？(1)f(x)=

10、x

11、(2)f(x)=2x(3)f(x)=x2(4)f(x)=1/x(5)f(x)=x(6)f(x)=x+1解(2),(5),(6)不是自同态.(1)是同态，