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《离散数学 第五章：2代数系统及其子代数和积代数 3代数系统的同态与同构.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、第五章代数系统的一般性质5.2代数系统及其子代数和积代数1),,都是代数系统,其中＋为普通加法,·为普通乘法,定义5-12一个非空集合S和定义在该集合上的一个或多个运算所组成的系统称为代数系统。用记号表示。2)是代数系统,其中＋和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.3)也是代数系统,它包含两个二元运算和一个一元运算.例如,5．2代数系统及其子代数和积代数一、 代数系统4)是代数系统，其中代数常数二元运算的幺元或零元,对系统性质起着重要的作用,称之为系统
2、的特异元素,或代数常数.的幺元为零,也可记作,也可记作的幺元分别为二、 子代数定义5-9设是一个代数系统，如果B对也是封闭的，且B和S含有相同的代数常数,简称子代数。例如:1)是的子代数,因为N对加法封闭,且它们都具有相同的代数常数0.是V的子代数系统,则称2)不是的子代数.因为代数常数0不出现在N-{0}中.这种最大与最小的子代数称为V的平凡的子代数．如果令V中所有的代数常数构成的集合是B,且B对V中所有的运算都是封闭的,那么,B就构成了V的最小的子代数.如果V的子代数满足BS,则称V
3、’是V的真子代数.对任何代数系统其子代数一定存在.最大的子代数就是V本身.而其他的子代数都是V的非平凡的真子代数.令例1.设为自然数,证明:nZ是V的子代数.证明:任取nZ中的两个元素则有即nZ对＋运算是封闭的．所以,nN是的子代数.并且注:当n=1时,nZ就是V本身,当n=0时,0Z={0}是V的最小的子代数,三. 代数系统的积代数定义5－14设代数系统和其中和都是二元运算。和的积代数是一个代数系统即,其中是二元运算，定义为对任意的例2设有代数系统其中，和分别是模2和模3的加法，即根据定义5－14，积代数其中对于任意，求积代数运算表如下
4、：解:运算的运算表如下:对任意的例2.设其中＋和分别表示整数加法和矩阵乘法,都有例如求积代数解:积代数如下:如果原来的两个代数系统分别含有代数常数,比如说V1的代数常数为a1,V2的代数常数为a2,就是积代数V1×V2中的代数常数．例如,那么积代数V1×V2的代数常数就是这时3个代数系统的积代数:例如那么有并且对任意的有积代数的性质:则积代数中相应的二元运算也是可交换的1)如果和中的二元运算都是可交换的的幺元,和2)如果和分别为在3)如果中的逆元为在中的逆元为那么在积代数中,的逆元就是(可结合的或幂等的),(可结合的或幂等的)．就是积代数
5、的幺元.那么练习1．通常数的减法运算能否和下列集合构成一个代数系统.（2）非负整数集Z()（3）整数集I（）（4）有理数集Q（）NYY2．设代数系统，其中I表示整数集，＋和·分别表示通常的加法和乘法运算，下面的各个子集，它是否能构成V的子代数？（1）（2）()()3．设代数系统，其中二元运算定义为中较大的数,则有个子代数。A．3B．6C．7D．8NYC4.3代数系统的同态与同构一、 代数系统的同态1．同态的概念定义5-1设是代数系统，◦和*是二元运算,满足对于任意有则称是从的一个同态映射,简称同态．到如果存在映射例1.设其中＋和分别表示普通加法和模n的
6、加法,即有这里令则是从的同态．到解:因为对任意x,y∈Z有例2.令则是从的同态．到解:因为对任意x,y∈R有的同态,是从到定义5.16设是V1在下的同态象．则称的同态,是从到定义5.17设如果是满射的,则称是从的一个满同态．到如果是单射的,则称是从的一个单同态．到如果是双射的,则称是从的一个同构,记作到2.同态象、同构例3.给定令到自身的同态.则:是证:任取有所以到自身的同态,这时也称为V的自同态.是1)当时,有称为零同态,其同态象为2)当时,有为的恒等映射,显然是双射,为的自同构.这时称同理可证也为的自同构.3)当时,有易证是单射的,这时为的
7、单同态,其同态象为是的真子集.其同态象就是例3.给定令到自身的同态.则:是(2)令定义如下:是从的同态．到证明:证易证是从的映射．且满足:到有是从的同态,且是满同态,其同态象就是到所以,注如果∑中只含有一个字母,比如说a,那么这时是双射的,就是是的同构.到二.一般的代数系统的同态定义5.15的同态概念可以推广到一般的代数系统中去.1.先考虑具有两个二元运算的代数系统定义5-1’设是代数系统，如果存在映射满足对于任意有则称是从的一个同态映射,简称同态．到类似的,也可以把同态概念推广到具有两个k元运算的代数系统都是二元运算.其中例4.设其中＋和普通加法和
8、乘法,有这里令则是从的同态．到解:对任意x,y∈Z有表示和表示模n的加法和模n的乘法,即是从的
