特殊Cartan型李超代数的Borel子代数

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1、数学杂志Vo1．34(2014)J．ofMath．(PRC)NO．6特殊Cartan型李超代数的Borel子代数高春艳，刘文德(哈尔滨师范大学数学科学学院，黑龙江哈尔滨150025)摘要：本文研究了特征零的代数闭域上秩为4的有限维特殊Cartan型李超代数S的结构．利用正则元的划分，确定出关于典范环面的所有正根系，从而得到了S的所有Borel子代数；对于每一个正根系，通过给出其单根系，得到了任何两个Borel子代数的连接关系：最后确定了每一个Borel子代数的极大可解性．本文所得结果可用于进一步研究Cartan型单李超代数的结构与表示．关键词：特殊Carta

2、n型李超代数；根系；Borel子代数；连接MR(2010)主题分类号：17B05；17B20；17B22中图分类号：O151．2文献标识码：A文章编号：0255—7797(2014)06．1170—111引言特征零代数闭域上有限维单李超代数分为9族典型李超代数和4族Cartan型李超代数W(n)(n3)，s(n)(n4)，日(礼)(礼5)和s(n)(礼4且礼为偶数)【1】．目前，典型单李超代数的结构与表示理论已经比较丰富，但关于Cartan型李超代数的研究结果相对较少．文【2】定义了素特征域上有限维广义Cartan型李超代数，并且讨论了它们的单性与限制性．这

3、类模李超代数在除幂代数退化为基础域时，对偶于特征零域上Cartan型李超代数．文『3—5]刻画了Cartan型李超代数的有限维不可约表示，并在纯奇维数超流形的张量场上实现了这些不可约表示，进而利用不变微分算子方法给出不可约特征标．Serganova在文『6，引理4．11中指出，(n)，(n)，百(rE)的任意两个Borel子代数都可以通过一系列反射连接，这里(礼)，H(n)分别是s(n)，H(n)通过添加次数导子得到的扩张李超代数．s(3)同构于典型李超代数P(2)，s(4)是最小的特殊Cartan型李超代数[11．Caftan型李超代数与李代数乃至典型李超

4、代数在结构性质上有本质区别．例如，Cartan型李超代数关于环面分解的根未必正负成对，根的重数也未必是1；对李超代数，一般按照正根系定义Borel子代数．这是因为，按极大可解子代数定义的Borel子代数，从表示论观点看，显得过大_7J．李超代数的Borel子代数虽是可解的，但未必是极大可解的，Borel子代数之间未必有共轭关系(因此本文研究Borel子代数之间的所谓连接关系)，等等．受文『6]的启发，本文研究最小的特殊Cartan型李超代数S(4)的Borel子代数．首先，通过对正则元分类，得到s(41共有336个不同的正根系，从而S(4)有336个不同的B

5、orel子代数；进一步，通过确定每一个正根系的单根系，得到任何两个Borel子代数的连接关系．Cartan型李超代数的Borel子代数必是可解的，但未必是极大可解的．因此，本文最后确定出每一个Borel子代数是否是S(41的极大可解子代数．收稿日期：2013—11-26接收日期：2014—02—14基金项目：国家自然科学基金(11171055)；黑龙江省杰m青年基金(JC2010o4)作者简介：高春艳(1990一)，女，黑龙江尚志县，硕上，主要研究方向：李超代数．通讯作者：刘文德高春艳等：特殊Cartan型李超代数的Borel子代数本文约定域F是特征零的代数

6、闭域，Zz是整数模2的剩余类加群2基本概念域F上的向量空间，连同它的一个子空间直和分解V=v00，称为一个超空间(Z2一分次空间)，其中，中的元素称为偶元素，中的元素称为奇元素．偶、奇元素统称为zz一齐次元素，并用表示齐次元素的z2一次数．为简便，下文中出现lXl时总约定z是一个齐次元素．域F上一个向量空间称为F一代数，如果它有一个双线性乘法．一个Ⅲ'一代数称为超代数，如果作为向量空间它是一个超空间2【=2【6①2【I，并且满足2【2【口C。+p，对于任意的Q，∈Z2．设L：L60LI是域Ⅲ'上的超代数，如果它的乘法[一，一]满足斜超对称性和超Jacobi等

7、式，则称是F上的李超代数[1】．设是一个Z。一分次空间，则的所有线性变换构成的向量空间EndV关于线性变换的乘法是一个结合超代数，其中(EndV)={∈EndVI()c+，∈z2}，∈z2．规定一个新运算『一，一1：[，Y]=xy一(一1)lIlylyx，，Y∈EndV．容易验证，EndV关于[_，一]是一个李超代数，称之为一般线性李超代数，记作g【()．设2【是一个超代数，齐次线性变换D：2【—称为2【的超导子，若对于任意的X，Y∈均有D(xy)=D(x)y+(一1)tDIxD(y)．令Derog／与DeriP．1分别表示的偶导子与奇导子构成的向量空间，记

8、DerP2=Der0P．／0Derig／，容易验证D