标准算子代数中特殊初等算子地范数

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1、目录目录摘要............................................................iAbstract.......................................................ii第一章引言及预备知识.......................................1第二章希尔伯特空间上的讨论.................................5§2.1d(RA,B)的范数表示和关系特征.........................5§2.2

2、d(I+UA,B)的最值估计................................9第三章d′(RA,B)及相关结论..................................12第四章一般赋范线性空间上的讨论...........................15§4.1d(RA,B)的范数表示和特征............................15§4.2一些特殊初等算子的结果和证明......................21参考文献..........................................

3、............27攻读硕士学位期间完成的主要学术论文.........................30致谢...........................................................31iii万方数据第一章引言及预备知识第一章引言及预备知识算子代数理论产生于20世纪30年代,随着这一理论的迅速发展,现在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支.它与量子力学、交换几何、线性系统、控制理论、数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和相互渗透.近年来,为了进一步研究算子代数的结构,许多学者对初等算子

4、的范数进行了深入的研究.在算子代数的研究中,人们长期关注初等算子的相关理论,而对此理论的研究,人们长期关注的问题是初等算子的范数估计.例如针对初等算子UA,B,M.Mathieu在[19]中证明了在素C∗代数中∥UA,B∥≥32∥A∥∥B∥;Cabrera和Rodriguez在[10]中证明了在素JB∗代数中∥UA,B∥≥20412∥A∥∥B∥;Stacho和Zalar在[27]中证明了标准算子代数中希尔伯特空1间上∥U2−1)∥A∥∥B∥;最近在[28]中他们又证明了∥UA,B∥≥∥A∥∥B∥,使初A,B∥≥2(√等算子UA,B的范数估计一步步完善.A

5、.Seeddik主要研究了标准算子代数中的秩一算子,并构造了d(RA,B)来表示RA,B作用在E上的所有单位秩一算子的范数的上确界来对特殊初等算子的范数进行研究.本文在此基础上进一步研究,使一些结论得到推广和深化.在这篇论文中,我们采用以下定义及说明:(1)设E是数集K(R或C)上的赋范空间(不要求是巴拿赫空间),B(E)是上所有有界线性算子构成的赋范代数,记A是B(E)上的标准算子代数(即它是包含B(E)上所有有限秩算子的子代数).设A=(A1,···,An)和B=(B1,···,Bn)是A中的元素构∑n成的n元组,我们定义A上的初等算子RAiXBi,

6、对任意X∈A.如果AA,B(X)=i,i=1Bi中含有一个单位元I,则称A包含单位元I.首先对于任意的A,B∈A,我们定义几个特殊的初等算子:(i)δA,B(X)=AX−XB,则称δA,B广义导子.(ii)MA,B(X)=AXB,则称MA,B为双乘算子.(iii)UA,B(X)=AXB+BXA,则称UA,B(X)为对称双乘算子.1万方数据第一章引言及预备知识(2)如果F是一个赋范空间,我们采用F′表示F的拓扑对偶空间,以及(F)1表示F的单位球面.(3)Ω是数域K上的一个单位的赋范代数,且A=(A1,···,An)∈Ωn,那么A的n-代数数值域为V(A)

7、={(f(A1),···,f(An)):f∈ρ(Ω)},其中ρ(Ω)={f∈Ω′:f(I)= ∥f∥=1}是Ω上所有态组成的集合.A的n-数值半径是ω(A)=sup{√∑ni=1

8、λi

9、2:(λ1,···,λi=1∥Ai∥n)∈V(A)},A的n-范数是∥A∥=√2,易知V(A)是Kn的非空闭的∑n凸子集.如果∥A∥=ω(A),那么我们称A为n-normaloid.当n=1时我们分别称它们为代数数值值域,数值半径,A的范数,A为正规的.更多详细说明参见([25]).(4)对(x,f)∈E×E′,我们用(x⊗f)(y)=f(y)x定义E上的一个算子x⊗f,

10、用F表示作用在E上的所有秩一算子的全体,显然F={x⊗f:∥x∥=∥f∥=1},