3-1二维随机变量的分布函数、边缘分布、条件分布

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1、§3.1二维随机变量的分布函数、边缘分布从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广.在很多实际问题中，有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标）来确定的等等.一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,…，Xn)为n维随机变量或随机向量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.一、二维随机变量（X

2、,Y）的联合分布函数X的分布函数一维随机变量X表示与的积事件分布函数的几何意义如果用平面上的点(x,y)表示二维r.v.(X,Y)的一组可能的取值，则F(x,y)表示(X,Y)的取值落入图所示角形区域的概率.(x,y)xy联合分布函数的性质xy(x,y)xy①xyxy固定x,对任意的y1

3、对于任意a

4、1/8列表如下连续型一维随机变量XX的密度函数三、二维连续型随机变量X和Y的联合密度函数定义设二维r.v.(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在非负可积函数f(x,y),使得对于任意实数x,y有则称(X,Y)为二维连续型r.v.f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度函数简称概率密度函数简记p.d.f.联合密度的性质12对每个变量连续,在的连续点处3若G是平面上的区域，则4P(X=a,-

5、(1)解(2)y=x0xy例2设r.v.(X,Y)的联合d.f.为其中k为常数.求常数k;P(X>Y)(1)解(2)例4设r.v.(X,Y)的联合d.f.为其中k为常数.求常数k;P(X+Y1),P(X<0.5)y=x10xy解令D(1)x+y=1y=x10xy(2)y=x10xy0.50.5例3设r.v.(X,Y)的联合d.f.为求(X,Y)的联合分布函数F(x,y)解当x<0或y<0时，F(x,y)=0当时二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.X,Y的分布称为边缘分布。从表中不难求

6、得:P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3)=1/8+1/8=2/8.注意这两个分布正好是表的行和与列和.四、边缘分布如下表所示我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.一般，对离散型r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘概率函数为(X,Y)关于Y的边缘

7、概率函数为X和Y的联合概率函数为对任意r.v(X,Y)，X和Y的联合分布函数为则(X,Y)关于X的边缘分布函数为(X,Y)关于Y的边缘分布函数为对连续型r.v(X,Y)，X和Y的联合概率密度为则(X,Y)关于X的边缘概率函数为(X,Y)关于Y的边缘概率函数为例4某校新选出的学生会6名女委员,文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机指定2人为学生会主席候选人.令X,Y分别为候选人中来自文、理科的人数.解X与Y的可能取值分别为0,1与0,1,2.求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律.则（X，Y）的所有可能取值为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1

8、，0)，(1，1)，(1，2)同理有故联合分布律与边缘分布律为01