概率统计和随机过程课件3.2二维随机变量的边缘分布和条件分布

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1、1二维随机变量的边缘分布和条件分布2二维随机变量的联合分布函数定义设(X,Y)为二维随机变量，对于任何一对实数(x,y),事件定义了一个二元实函数F(x,y)，称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，即(记为)的概率3二维随机变量的边缘分布函数由联合分布函数可以求得边缘分布函数,逆不真.xyxxyy4例1设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为其中A,B,C为常数.确定A,B,C；求X和Y的边缘分布函数；求P(X>2)5解(1)(2)6(3)可以将二维随机变量及其边缘分布函数的概念推广到n维随机变量及其联合分布函数与边缘分布函数7定义若二维随机变量(X,Y)的所有可能的取值为有限多个或无

2、穷可列多个,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.要描述二维离散型随机变量的概率特性及其与每个随机变量之间的关系常用其联合概率分布和边缘概率分布二维离散型随机变量的边缘分布8联合概率分布(联合分布律)设(X,Y)的所有可能的取值为则显然，二维离散型随机变量的联合分布函数9二维离散型随机变量的边缘分布律已知联合分布律可以求出边缘分布律；已知边缘分布律一般不能唯一地求出联合分布律10例3把三个球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒容纳的球数无限.记X为落入1号盒的球数，Y为落入2号盒的球数，求(X,Y)的联合分布律与边缘分布律；解联合分布律的求法：利用乘法公式常用列表的方法给出11(

3、1)本例中，其联合分布与边缘分布如下表所示12XYpij01230123000000Pi•1p•j13例4把3个红球和3个白球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中,每盒容纳的球数无限,记X为落入1号盒的白球数,Y为落入1号盒的红球数.求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律.解见下表14XYpij01230123pi•1p•j15本例与前例有相同的边缘分布，但它们的联合分布却不同.故联合分布可以唯一确定边缘分布但边缘分布却不能唯一确定联合分布16二维连续型随机变量的边缘分布定义设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在非负可积函数f(x,y),使得对于任意实数x,y有则称(

4、X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的联合密度函数简称为联合密度或概率密度17边缘分布函数与边缘密度函数与离散型随机变量相同，已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定.X的边缘分布：X的边缘密度：Y的边缘分布：Y的边缘密度：18例5设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为其中k为常数.求常数k;联合分布函数F(x,y);边缘分布函数与边缘密度函数19当0x<1,0y

5、，v=u10uv1当x1y1时，22F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0x<1,0y

6、密度和边缘分布的求解边缘密度求解：(1)利用联合分布函数，求出边缘分布函数，再求导。(2)对联合密度积分。通常（2）更简单。边缘分布求解：28§3.2二维随机变量的条件分布——将条件概率的概念推广到随机变量设已知二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布若则称为在X=xi的条件下，Y的条件分布律二维离散型随机变量的条件分布律29若则称为在Y=yj的条件下，X的条件分布律类似于乘法公式30类似于全概率公式31例6（续）把三个球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒容纳的球数无限.记X为落入1号盒的球数，Y为落入2号盒的球数，求(X,Y)的联合分布律与边缘分布律；P(X=i

7、Y=0)与P

8、(Y=j

9、X=2);联合分布律的求法：由乘法公式在§3.1已计算过32由问题的意义可知X012333Y0134例7一射手进行独立射击,已知每次他击中目标的概率为p(0