2-4随机变量函数的概率分布

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1、§2.4随机变量的函数的分布离散型连续型定理及其应用1一.随机变量函数的概念设有函数其定义域为随机变量X的一切可能取值构成的集合，如果对于X的每一个可能取值x，个随机变量Y相应的取值为y=g(x),则称Y为X的函数。另一记为：随机变量函数的分布本节的任务是：已知随机变量X的概率分布，并已知Y=g(X),要求随机变量Y的概率分布．2二、离散型随机变量的函数随机变量函数的分布设X是离散型随机变量，其分布律：因Y=g(X),则Y的概率分布为P{Y=g(xi)}=pi3说明：1.若随机变量X是离散型，则随机变量函数Y也离散型。2.由于随机变量Y在取值上有可能相等，则有随机变

2、量函数的分布问：若随机变量X是连续型，则随机变量函数Y是否连续型。4例1设有随机变量X的分布律为随机变量函数的分布随机变量Y=X-1,试求Y的分布律随机变量Y=X-1的可能取值是由此得随机变量Y=X-1的分布律5例2设有随机变量X的分布律为pkX-10120.20.30.10.4所以，P{Y=0}P{Y=1}P{Y=4}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,=P{X=-1}=0.2,pkY0140.10.70.2Y的分布律为：=P{X=1}=0.1,随机变量函数的分布随机变量Y=(X-1)2,试求Y的分布律.随机变量Y=(X-1)2的可能取值是0,1

3、,46三、连续型随机变量函数的分布设X是连续型随机变量，其概率密度函数为fX(x)而设y=g(x)是X的连续函数，Y=g(X)是连续型随机变量。解题思路随机变量函数的分布1.先求Y=g(X)的分布函数２.求Y=g(X)的密度函数fY(y)＝F'Y(y)利用Y=g(X)的分布函数与密度函数的关系7例3设有随机变量X的概率密度函数为解：(1)先求Y=X-4的分布函数FY(y)：随机变量函数的分布随机变量Y=X-4,试求Y的概率密度．8整理得Y=X-4的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式随机变量函数的分布（２）利用F'Y(y)＝fY(y)有，9例4设有随机变量X的

4、概率密度函数为解：先求Y=X2的分布函数FY(y)：求Y=X2的概率密度.不可能事件随机变量函数的分布因F'Y(y)＝fY(y)10说明：设X~N(0,1),其概率密度为：则Y=X2的概率密度为：说明：Y服从自由度为1的χ2-分布随机变量函数的分布11定理设X是概率密度函数为fX(x)(a

5、布因随机变量X在区间(a,b)上变化时,随机变量Y在区间(αβ)上变化.其中不妨设g(x)是严格单调增加的函数13例5设随机变量X~N(μ,σ2),试求随机变量Y=eX的随机变量函数的分布因为X~N(μ,σ2),X的概率密度函数14例6设随机变量X~N(μ,σ2),试证明X的线性函数Y=aX+b（a不等于0）也服从正态分布。证:X的概率密度为由定理得：随机变量函数的分布15小结：1一般情形下求随机变量函数的分布。2在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数的分布。重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的概率密度。随机变量函

6、数的分布161会用随机变量表示随机事件。2理解分布函数的定义及性质，要会利用分布函数表示事件的概率。3理解离散型随机变量及其分布率的定义、性质，会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。4理解连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。5会求随机变量的简单函数的分布。本章要求：随机变量函数的分布17作业：P59,33,35,36,3718