有界半特征的同胚定理及其应用

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1、第240001卷年第95月期ACTASCIENTLARL3中M山N大AK学IIL~．报IIU(M自然U科NIV学E版RSI)TATISSUNYATSENI．40No5sep2001有界半特征的同胚定理及其应用何远江(中山大学统计科学系，广东广州510275)摘要：设(S，+，)为一可交换半群．有单位元称函数S一[一1，1]为有界半特征，若尸(e)=1且(+f)=P()户(f)，∈S设H为一些有界半特征所戚的集台“，)为H上的垒体有限Radon捌度，则有下面的同胚定理：一￡=lP()()．∈s是()到R的某个子集

2、的同胚映射应用同胚定理，给出了局部紧空间上的随机测度的相应的经典命题的较简单新证明，且无需第二可散性条件．关键词：半群；Radon测度；正定函数；Laplace泛函；随机测度中图分类号：O1776；0174．12文献标识码：A文章编号：0529-6579(2UOI)054)009-04调和分析理论是概率论研究的有效工具．从1)p(e)=1；文[1]可知，半群s上的全体有界半特征S上2)P(+t)=P()P(￡)，，t∈S．的全体有限Radon测度同胚于S上的全体有界正设S为s的全体有界半特征，赋予§从[一1，定

3、函数，而同胚映射就是Laplace变换．本文推广1]上遗传下来的逐点(pointwlse)收敛拓扑．了文[1]的结果，证明了同胚定理：§上的任意定义3(参看文[1]，41．5)称s上的复的一个子集H上的全体Radon测度通过Lap]ace值函数是正定的，若对任意正整数n，任意复变换同胚于s上的全体有界正定函数的一个子数c一，和任意s一，∈S都有集．应用同胚定理，本文推广了局部紧第二可数∑(々+8k)0空间上的随机测度的相应的经典命题(无需第二可数陛条件及给出了利用同胚定理的新的较简单注1这里的正定函数实际上是实

4、值的：的证明)．设n=1，I=1，分别设5l=5和1=e，则分别有(+5)0和(e)0．设n=2，cI=。21同胚定理=1，5I=s，2=e，贝9有2()+(5+)+以下以(X)或记拓扑空间的Borel(e)0．故(5)是实值的．域，即由的开集生成的一代数．引理1(参看文[1]，4．2．8)S上的每个定义1(参看文[1：，2．2．1)设为一有界正定函数都有积分表示rHaasdorlf空间，为定义在(X)上的测度．’(5)=l(5)dr,(P)，5∈s称为在上的Radon测度，若下列条件满足：其中，是§上的有限R

5、adon测度并且是惟一确1)对的每一个紧子集c都有(C)<*；定的．2)对每一B∈都有由于对于S上的每一有限R,~don测度，函(B)=sup{(C)：CcB，C是紧集)．r以下恒设(s，+，e)为一可交换半群，有单位数(s)=I(s)(dP)，s∈s是有界正定的，从兀e．引理1有下面的推论定义2(参看文[1]，41．1，4．12，4．2．1，推论1设，为S上的有限Radon测度，4．2．2及P96)称函数则=u当且仅当pS一[一1，1]Jr(s)(dP)=Jr(s)u(dp)，s∈s为半群s的有界半特征，若下

6、列条件满足：*基金项目广东省自然科学基金资助项目(98o287)收藕日期2001412-08；作者筒介：何远江(1945一)，男，教授10【{_【【l大学{1{(}『然利版)第柏卷设M(§)为§上的全体有限Radon测度．H3)显然从=u可得五=．为S的一个子集且带有相对拓扑，M(H)为H上设=．设C为的紧子集，则C也是S的的全体有限Radon测度．本文赋予M(H)弱拓紧子集，故C∈§)．因(C)=(Cft)=扑，即使得对H上每一有界连续函数，，映射．五(C)=(C)=u(CH)=u(C)，所以：．肼(H)—+

7、(一*，+*)，—+I尸(．厂)(P)4)若且是S的开集，则G：聪是H的开集．因都是连续的最粗拓扑(关于弱拓扑，例如，可参limin瞄(e)=ljminf／~(G)≥(G)：五(e)看文[1]，第2章的第3节)．称M(H)中的网()弱收敛于C-肼()，记为，若故五五．(，)关于弱拓扑收敛于．根据文[2j，第4章的反之，若五五且G是的开集，则存在定理7，[一l，1]，§和Ⅳ都是全正则空间，根据文§的开集e使得G=舵．因[1]定理2．3．1，在上面赋予M(H)的弱拓扑与文limin(G)=limin瞄(e)≥五(e

8、)=(G)[1]定义的弱拓扑相同．故三．测度∈M(H)的Laplace泛函定义为定理1(同胚定理)厶()={p()(dp)，s∈S1)设，u∈M(1t)．则：当且仅当设钡j度∈M()，§)上的函数定义为(s)=LJ(s)，s∈S．(A)=(AH)，AC-觑§)．2)设∈M(日)，{l是M(H)中的同．则引理2设cS，，，C-M()，()是__当且仅当(s)一(5)，5∈s．M(／／)中