单调有界定理与应用

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1、可编辑版本科生毕业论文（设计）题目：单调有界定理及其应用学生姓名：学号：专业班级：指导教师：完成时间：2013年5月10日Word完美格式可编辑版目录0引言…………………………………………………………………31单调有界定理的内容及其证明………………………………………32单调有界定理的应用…………………………………………………42.1定理在证明区间套定理中的应用………………………………………42.2定理在证明柯西收敛准则中的应用……………………………………52.3定理在证明致密性定理中的应用…………………………

2、……………62.4定理在证明有限覆盖定理的应用………………………………………62.5定理在证明级数的敛散性的应用………………………………………73总结……………………………………………………………………12参考文献…………………………………………………………………13致谢………………………………………………………………………13Word完美格式可编辑版【摘要】单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中应用广泛.本文浅淡单调有界定理在实数完备性中的应用，即运用单调有界定理证明实数完备性的几大定理.同

3、时在数列的单调有界定理基础上，利用非负函数的单调性和积分性质，论证了非正常积分和正项级数可以互为比较对象，判断对方的敛散性，并推广应用之.【关键词】单调有界,连续,收敛,可积.【Abstarct】Monotoneboundedtheoremisanimportanttheoreminthetheoryoflimitwhichhasextensiveapplicationsinmathematicalanalysis.Inthisarticle,westudyitsapplicationsintherealnu

4、mbercompleteness.Forexample,wecanmakeuseofthetheoremtoprovesometheoremsaboutrealnumbercompleteness.Furthermore,onthebaseofmonotoneboundedtheoremofseries,weprovethatnon-regularintegralandpositiveseriescanbedenotedascomparableobjectforeachotherinordertojustif

5、ytheotherconvergencebythemonotonicityandintegralofnon-negativefunctions.【Keywords】monotonebounded,continuous,convergence,integrable.0.引言在现行的《数学分析》教材中,通常都把确界原理作为公理给出,用来反映实数集的连续性(完备性).以此公理作为理论基础,先证单调有界定理,用以判别单调数列极限的存在性.至于判别更一般的数列极限是否存在,就要引用柯西准则,但柯西准则的充分性证明,却要

6、放到很后的位置,作为较难的问题专门处理,与此相关的判别函数极限存在的柯西准则,以及在闭区间上连续的函数具有的各种性质的证明,也就建立在这样一种不甚踏实的基础之上.因此，我们应该用的技能是一个多元关系的观点，自觉的开发技能，引导师范生开发技能.1.单调有界定理的内容及其证明Word完美格式可编辑版所谓单调有界定理指的是，实数范围内有界的单调数列必然存在极限，也就是说当实数数列单调上升（或单调下降）且有上界（或下界）时，该数列极限必存在.（注：在本篇论文中以单调上升有上界的情况作为论述对象，单调下降有下界情况与此

7、相同）现对单调有界定理进行证明，证明如下：不妨设{}为有上界的递增数列，由确界原理，数列{}有上界，记.下面证明就是{}的极限.事实上，任给,按上确界的定理，存在数列{}中某一项,使得.又由{}的递增性，当时有.另一方面，由于是{}的一个上界，故对一切都有.所以当时有,这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.通过以上对单调有界定理的证明，对单调有界定理有了一定的认识与了解，单调有界定理在数学理论证明中应用很广,接下来我将应用单调有界定理来证明区间套定理、柯西收敛准则、致密性定理、有

8、限覆盖定理及数列的敛散性.2.单调有界定理的应用2.1以单调有界定理来证明区间套定理设{[]}是一个区间套，根据区间套定理可知在实数系中存在唯一的一个点ξ∈{[]}，n=l,2…,即：<ξ<,n=l,2….具体证明如下:由区间套的定义可知{}为递增有界数列，由单调有界定理可知，数列{}存在极限ξ，且≤ξ，n=l,2….同理，根据区间套的定义可知,{}为递减有界数列，同样根据单调有界定理可知{}存在极