例 1 用单调有界定理证明区间套定理

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1、例1用单调有界定理证明区间套定理．即已知：1）单调有界定理成立；2）设为一区间套．欲证：且惟一．[证]证明思想：构造一个单调有界数列，使其极限即为所求的．为此，可就近取数列（或）．由于因此为递增数列，且有上界（例如）．由单调有界定理，存在，且．又因，而，故；且因递减，必使．这就证得．最后，用反证法证明如此的惟一．事实上，倘若另有一个，则由，导致与相矛盾．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[证毕] 例2用区间套定理证明单调有界定理．即已知：1）区间套定理成立．2）设为一递增且有上界M的数列．欲证：存在极限．[证]证明思想：设法构造一个区间套，使其公共点即为的极限．为此令。记，并取再记

2、,同理取如此无限进行下去，得一区间套．根据区间套定理，．下面用数列极限定义证明：，一方面，由于恒为的上界，因此；另一方面，由；而由区间套的构造，任何不是的上界，故；再由为递增数列，当时，必有．这样，当时，就有,即．　[证毕] 例3用确界定理证明区间套定理．即已知：1）确界定理成立（非空有上界的数集必有上确界）；2）设为一区间套．欲证：存在惟一的点．[证]证明思想：给出某一数集，有上界，使得的上确界即为所求的．为此，取，其上界存在（例如）．由确界定理，存在．首先，由为的一个上界，故．再由是的最小上界，倘有某个，则不会是的上界，即，这与为区间套相矛盾（）。所以任何．这就证得．关于的惟一性，与

3、例1中的证明相同．　　　　　　　　　　　　　　[证毕]注本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚．  例4证明连续函数的局部有界性——若处连续，则和，使得．[证]据在连续的定义，满足．现取，相应存在，就有．[证毕]注类似可证连续函数的其余局部性质，例如四则连续性质、局部保号性质等等． 例5证明上一致连续的充要条件是：上连续，且存在．[证]先证充分性：令由条件可知上连续，从而上一致连续（由连续函数在闭区间上的整体性质）．再由一致连续的定义，又知上也一致连续．而在，所以证得上一致连续．再证必要性：由上一致连续的定义，，当时，有．因此，特别当，同样有．这表示存在极限的柯西条件得到满足，所

4、以证得与都存在．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[证毕]注由例3结论，易证：若上一致连续，则上必定有界．这是因为上面证明中已知上连续，从而上有界，故上也有界；而在，所以知道上有界．对于一般在上的连续函数，它在上不一定有界．例如上是无界的．由此又可说明上必定不一致连续．    例6试求下列函数的导数：1）；2）其中．[解]由导数定义，可分别求得：1），．2），，．[解毕] 例7证明:若上连续，在内可导，且，则，使得.(1)[分析]先把上面(1)式改写为:(2)若令,则(2)式即为.这样，问题就化为检验上是否满足Rolle定理的条件.[证]由题设条件，上述上连续，在内

5、可导，且有.故，使得，即(2)式成立.又因，故由导函数的性质（具有介值性），在内不变号，由此推知在内严格单调；再由在上连续，所以又在上严格单调.这就保证了.这样，便可由（2）式逆推至（1）式成立.[证毕]例8设椭圆，及其上任一点．试求：1）椭圆在点P处的切线；2）该切线与二坐标轴所围三角形的面积；3）当P在何处时，能使上述三角形的面积为最小．[解]对椭圆方程两边关于x求导（把y看作隐函数y=y(x)）,得到,并由此求得（这就是所求切线的斜率）．1）所求切线为，其中是切点P的坐标，是切线上动点的坐标．2）求出切线在二坐标轴上的截距：Y=0时，；X=0时，．不妨设切点在第一象限，此时所求三角

6、形的面积为．上面最末项的得来，是利用了点P的坐标需满足椭圆方程．3）这是一个以S为目标函数，椭圆方程为约束条件的条件极小值问题．为方便起见，又可等价地化为以为目标函数，为约束条件的条件极大值问题．为此引入Lagrange函数，把上述条件极值问题转化为三元函数的普通极值问题来求解：．由于在第一象限椭圆弧上的最小值为0（在椭圆弧的两端取得），故它的最大值必在椭圆弧的中间点处取得，因此即为所求的点．此外，它在其余三个象限中的对称点：亦为所求．　[解毕]   例9计算定积分．[解]．　[解毕] 例10试求极限．[解]此为型极限，尝试用洛必达法则来计算：．这说明：当为高阶无穷大量．　[解毕]例11

7、设f在[a,b]上为一连续、递増函数．试证在上亦为一递増函数．[证]由于连续，因此F在上处处可导，其导数为．对上式分子使用积分中值定理，并利用f的递增性，得到．这就证得．　　　　　　[证毕]注1证明的另外一种方法是：．注2下面的证法是错误的：记，求导数得．这是因为题设条件中没有“f可导”，所以上面出现是不允许的．例12设f在[0，1]上为一递减函数．试证：，恒有．[证]利用积分区间可加性，把结论不等式等价变形为，即：．（如图所示，此