区间套定理的推广与应用

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1、腳城大嗲本科生毕业论文区间套定理的推广与应用专业代码：07010003作者姓名：学号：单位：才旨导教师：M1AbstractKeywords10弓I言21区间套定理在女上的推广22区间套定理在一般度量空间上的推广63区间套定理在上的推广84区间套定理的应用举例9参考文献12麵13区间套定理的推广与应用摘要通过运用类比法、分析法、演绎法将区间套定理进行了拓展，得到若干定理并分别给出了证明，结合典型例题，分析讨论了区间套定理的实际应用.1.区间套；2.拓展；3.应用Abstractseveraltheoremswhicharetestifiedaregotaftert

2、heexpandingofthenestedintervaltheoremthroughtheapplicationofanalogy,analysis,anddeductiveandtheapplicationofthenestedintervaltheoremwasdiscussedbytheanalysisofsometypicalexamples.Keywordsnestedinterval;expansion;application区间套定理的推广与应用引言区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它冋聚点定理、奋限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和

3、柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，因此区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理等.故区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。为了增大区间套定理的应用范围，本文从区间套定理的概念出发,综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理.首先，将区间套定理在一维空间加以推广，形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理，增人了区间套定理的应用范围.紧接着结合一般完备度量空间的

4、特性，即正定性、对称性、三角不等式和完备性，把区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭区间套集定理，从而把一维空间上的情形推广到了更一般化的完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广泛，而且给出了常用度量空间/T上的闭集套定理.最后结合一些实例分析说明区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数有界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列，在应用区间套定理证明存在满足题意的点.从实际例题中还可以看出区间套定理反映了实数的稠密性，所以区间套定理在证明与实数相关命题时发挥着重要的作用.1区间套定理在〃1上的推广区间套定理是一个基本的定理，在

5、把该定理推广前先回顾一下闭区间套定理的内容.定义1.1设｛K,aJ｝02=1，2,3,…）是/?中的闭区间列，如果满足：（i）人］c=1，2,3…；（ii）lim（/?H-以J=0;则称^aH,bnJ｝为/?中的一个闭IX间套，或简称IX间套.这里性质（1）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：6Z,

6、（1）式，｛~｝为递增有界数列，依单调有界定理，仏J有极限f，且有Cin<《，"二1，2,....（3）同理，递减有界数列仏也有极限，并按区间套的条件（ii）有mbn-lim“"=,（4）”一>00且b”M，n=l，2，"..（5）联合（3）、（5）即得（2）式。最后证明满足（2）的是唯一的.设数f也满足ciny（brt，n=l，2,…，则由（2）式有Kh=u，"..由区间套的条件（ii）得

7、^-^00因有故原命题成立.推论1.1若［6Z,,，/?,,=1,2,3,…）是区间套｛

8、//„确定的点，则对任意正数f，存在自然

9、数/V,当时，总有开区间列，如0,注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且lim/J—但不存在属于所奋开区间的公共点.定理1.2m数列仏」收敛的充要条件是：对任给的s〉0,存在/V〉0,使得对m，n>N有am-an0,当m，z?〉/V时有因而-a

10、<

11、+

12、=£［充分性］按假设，对任给的£>0，存在/V〉0,使得对一切心7V有h„-^

13、

14、kJ中几乎