儒歇定理的推广与应用

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1、FUYANGTEACHERSCOLLEGE本科毕业论文（设计）目：儒歇定理的推广及应用生:学号：201140510444院：数学与统计学院专业:数学与应用数学入学时间：2011年9月12日指导教师：崔颖职称:讲师（内聘）完成日期：2015年3月19日诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《儒歇定理的推广及应用》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。承诺人（签名）:年月日儒歇定理的推广及应用摘要：本篇论文首先对儒歇定理的具体内容进行阐述并且加以证明，再将其推广到其它形式上并加以证明，最后归纳总结出其五个具体

2、的实际应用。关键词：儒歇定理；解析函数；零点；极点TheGeneralizationsandApplicationsofXieTheoremAbstract:ThispaperfirstdescribesthespecificcontentofConfucianism,xietheoremisexpoundedandproved,whichhasbeengeneralizedtootherformagainandproveit,finally,summarizesitsfivespecificpracticalapplication.Keywords:Confuci

3、anism,xietheorem;Analyticfunction;Zero;Thepole引言1儒歇定理1.1儒歇定理及其证明2.1儒歇定理的推论2儒歇定理的推广22.2儒歇定理的推广43儒歇定理的应用63.1解决零点个数问题63.2证明代数学基木原理83.3多项式的零点关于其系数的连续性103.4证明赫尔维茨(Hurwitz)定理113.5证明单叶解析函数的一个重要性质12小结13参考文献13致谢13引言儒歇定理是复变函数论中的一个著名定理。它不仅叙述简洁，内容简单易懂口应用广泛。儒歇定理的条件要求是苛刻的，因此木文对经典儒歇定理作了推广，并给以证明。同吋它的应

4、用性也十分广泛，既可以利用解析函数的儒歇定理讨论实函数在某区间根的个数问题，也可以证明儿个重要的定理。在理论和应用上都有着极其重要的地位。1儒歇定理1.1儒歇定理及其证明引理1⑴(辐角原理)设C为一闭曲线，若函数几込)在C上解析口不为零，在C所围区域内除去有限个极点外处处解析，则有Aarg/(z)N(/,C)-P(/,C)=—,271其中/V(/,C),P(仁C)分别为于(z)在C所围区域内的零点个数和极点个数。特别地，若/⑵在C所围区域内及C上均解析，且/⑵在C上不等于零，即/⑵在C所围区域内无极点，则有N(/,C)=若/(z)在C所围区域内无零点，则冇arg/(

5、z)2ti儒歇定理(经典儒歇定理)设C为一闭曲线，若函数/(z)和g(z)在C所围区域内及C上均解析，且在C上有⑵

6、>

7、g⑵

8、，贝惰函数/⑵与/⑵+g⑵在C所围区域内的零点个数相同。证明：因为在C上有

9、/(z)

10、〉

11、g(z)

12、、O,/⑵+g(z)

13、>

14、/(z)

15、-

16、g(z)

17、>0,所以在C上/⑵"J⑵+g⑵工0。这两个函数都满足引理1的条件，于是冇引理1,可知它们在C所围区域内的零点个数分别为亠人严gf（z）与^-A（ar§[/⑵+

18、/⑵+A

19、⑷-1

20、V1内,因此点心+霜不会围绕原点wo变动，从而△arg1+牛

21、=0,Aerg[/⑵+g(z)]=A屈汀⑵。/⑵定理得证。2儒歇定理的推论与推广2.1儒歇定理的推论定理1设/⑵与g⑵在简单曲线C上和C内解析，在C上满足条件/(z)-g(^)

22、<

23、f(^)

24、(*)则有/⑵与g(z)在C内有相同个数的零点。证明:因为(*)式，在C上

25、/(z)

26、>0o同样g(z)在C上也不为零。因为若g(Zo)=O,z0eC,则有(*)式得

27、/(z0)

28、<

29、/⑵

30、，矛盾。设0⑵=g(z)-/(z),因为/

31、⑵和g⑵在C内均解析，所以g⑵-他)在C内解析，又由条件(*),在C±

32、/(z)

33、>g(z)-/(z)

34、=

35、>

36、卩⑵

37、>”⑵

38、。那么，NJfQ=N(f+(p,C)=“+fC)o证明：由经典儒歇定理有：N(f,C)=2(/+%C),N