l′hospital法则和stolz定理的推广与应用

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第l5卷第2期广州大学学报(综合版)Ⅷ．15No．22001年2月JOURNALOFGUA_NGZHOUUNIVERb3~"Feb．2001文章编号：1008-9861．(20O1)02-0018-04LHospital法则和Stolz定理的推广与应用袁文俊，阴晓玲(广州大学理学院，广东广州510405)摘要：推广了数学分析中事极限的【，}k岳则和Stolz定理，将其系统化为一种有效的方法，使许多常见的经典之倒得到巧解和扩充关键词：【，Hospital法则；Stolz定

2、理；极限；函数中图分类号：O174．5文献标识码：A数学分析是一门重要的数学专业基础课程，极限理论是数学分析的基础．如何快速正确地求解等等则觋一n定理3设函数r()和g()在∈(Ⅱ，+三型和昔型极限是掌握极限理论的关键，LHospi一U)上满足：(1)timg()=+(或一)；(2)tal法则和Stolz定理是求解这两种类型极限的有l厂()，g()可导，g()≠o；(3)=!，效方法．然而在普通教科书上，一般都不介绍Stolz定理，从而使许多经典数列极限的求解变得比较困则lim上：．gL难ll一31．李俊杰在文献[4

3、]中推广TStolz定理，孙证明由定理的条件(2)和Darboux定理L本旺等在文献[6]中得到较一般的结果．在此基础易知，g()在(。，)内不变号．当lg()：上并经过多年探索，我们得到更广泛的结论，推广+*时，可得g()>0，∈(Ⅱ，)．下面我们验了求极限的LHospital法则和Stolz定理，将其系证条件(取T=1)．统化为一种有效的方法，使许多常见的经典之倒利用Litgl'~ge公式和定理的条件(2)立刻得得到巧解和扩充．知定理2的条件(1)成立．仍由定理的条件(2)为叙述方便，本文中我们作如下约定：为可知

4、厂()在(。，*)上连续．于是，结合假定的正实数，n、b为实数，z为有限数或+或一．条件，可知定理2的条件(2)成立由Cauchy公式和定理的条件(3)便可推知定理2的条件(3)1詈型的相关结果及应用成立．因此，据定理2即知，此时定理3成立．完全类似地，我们可验证：当llmg()=一定理1(Stolz定理)设数列{j和{I满*时，定理3仍然成立．证毕．足：(1)+l>，(n=1，2，⋯)；(2)lira=一给自变量或函数一个适当的线性变换，我们+；(3)lim：，则limx~：，可得到下述7个定理．一，+l一一，孙本

5、旺等在文献[6]中将其推广为下述定定理4设函数，()和g()在区间∈理．(。，+*)上满足：(1)g(+T)‘g()；(2)定理2设函数，()和g()在区问∈limg()；一，，()内闭有界；(3)liIIl(。，+)上满足：(1)g(+T)>g()；(2)lira等等则g()=+∞，，()内闭有界；(3)Hrn收稿13期：200O一09—13；孽订13期j2O0O一12—27作者简介：袁文俊(~957一)男，教授，理学博士；主要研究方向：复分析厦应用维普资讯http://www.cqvip.com第2期袁文俊等：H

6、ospital法则和Stolz定理的推广与应用19定理5设函数f()和g()在区间∈证明易知条件(1)成立等价于条件(I)(一∞，Ⅱ)上满足：(1)g(+)

7、ag()=一∞，f()内闭有界；(3)lim的条件(1)成立．这样从定理3可立刻得到liII1等则g()一一定理7设数列{}和fh}满足：(1)h+l(同理由条件(r)、(2)、()和定理8可得；(n=1，2⋯)；(2)lfln=一∞，；(3)liralira上：f．出：1一*g。则1．衄：1．(f-+1)一y一于是易知成立lira：．定理证毕．定理8设函数f()和g()在区间∈定理12lLHospital法则)设函数f()和(一，。)上满足：(1)limg()=+*(或一g()在∈(o—h，0+h)，h>0上满足：

8、(1))；(2)f()，g()可导，g()≠O；(3)limlirag()=；(2)f()、g()可导，g(j≠O；f~(z3)_fj则=f．g㈣《则定理9设函数，()和g()在∈(0，0运用这些结果，我们可证明如下命题．+h)上满足：(1)hmg()=+∞(或一∞)；(2)1．设g(x)=(或一)，f()在(。，*)上-．内闭有界．如果Hm(