Stolz定理的应用及推广毕业论文.doc

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1、本科生毕业设计(论文)题目：Stolz定理的证明及其应用ProofofStolztheoremanditsapplication教学单位计算机科学与技术学院姓名_陈云清______学号1年级2008级专业数学与应用数学指导教师杨杰职称年月日Stolz定理的证明及其应用确定函数的不定式极限是数学分析课程中的一个重要内容，不定式的基本类型是和型，它们之间可以互相转化，对于可导函数来说，纵所周知，L'hospital是对可导函数不定式极限的一个重要工具。但是对于不可导的函数而言，确定函数不定式极限值就比较复杂。而Stolz定理是求不可导函数不定式和的一种有效方法

2、。一，定理的叙述：设是严格单调增加的正无穷大量，且（可以是有限量，与），则。二，定理的证明：（1）先考虑当=0时的情况。由，可知，，：。由于是正无穷大量，显然可要求，于是。不等式两边同时除以，得到，对于固定的,又可以取到,使得：，从而。（1）当是非零有限数时，令，于是由，得到，从而。（2）当时，首先,:。这说明也严格单调增加，且从可知是正无穷大量。将前面的结论应用到，得到，因而。（3）对于的情况，证明方法类似。三，Stolz定理在数列极限中的应用定理设是实数列，若（为有限，与），则。证明：令，由Stolz定理可知。例定理设实数列，如果则。证明：。例定理设数

3、列收敛于（有限或无限），算数平均数列，则。证明：令，，由定理2，，，所以。例定理已经和是两个实数列，若为有限、或，关于单调增加且，，则。证明：取，，则，，显然，严格增加且趋于。由Stolz定理有。可以看出，在求分子，分母为求和型极限时，用Stolz定理及相关推广定理有很大的优越性。四，Stolz定理在函数极限中的应用定理设函数在区间上有定义，且在任何有限子区间内均有界；函数是上单调增加的函数，且；存在（有限数，或）；那么必有证明：设(1)当=时此时对，，使当时，有由假设知，函数在上单调增加，故，于是由此对任意的自然数,便有下面不等式成立..........

4、............将上面的不等式相加得到于是有上式对及任意的自然数均成立，特别满足的成立。由实数系的连续性可知对，都可以表示成其中取我们就有不等式由假设知，,且当时，。对于及成立因此对,,使得上式成立。由有界，故使得；又单调增加，故,使得。因此上式对成立，其中、及为与无关的常数。令,因为，故对,满足使得当时，。所以有所以我们就证明了对,，当时故（2）当时对,存在着整数,使且当时，所以有我们就有对,下列不等式成立对且，总有某个实数，使得下式成立当时，函数和都有界，又，所以有于是存在着正数,,使得当时，同时有及所以有变形得到由时，函数和都有界，，，所以由

5、此,当时所以有,由的任意性，我们便证明了：对，,使当时，有所以当时有同理当时，也有证毕。推论1设（1）在上有定义，且在内的任意有限区间上均有界；（2）是上的单调减少函数，并且；（1）存在（有限数，或)则定理2设（1）在上有定义，且在内的任意有限区间上均有界；（2）是上的单调减少函数，并且；（3）存在（有限数，或)；则证明：推论2设（1）在上有定义，且在内的任意有限区间上均有界；（2）是上的单调增加函数，并且；（3）存在（有限数，或)；则