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1、本科生毕业设计（论文）题目:Stolz定理的证明及其应用ProofofStolztheoremanditsapplication教学单位计算机科学与技术学院姓名陈云清学号200831105031年级2008级专业数学与应用数学指导教师杨杰职称Stolz定理的证明及其应用确定函数的不定式极限是数学分析课程巾的一个重要内容，不定式的基本类型是£和二型，它们之间可以互相转化，对于可导函数來说，纵所周知，o°°L’hospital是对可导函数不定式极限的一个重耍工再。但是对于不可导的函数而言，确定函数不定式极限值就比较复杂。而Stolz定理是求不可导函数不定式£和二的一种有效方法。0°°一，定理的叙述
2、：X..-x设W是严格单调增加的正无穷大量，ilim——-a(“口J以是有限量，+00与-0<>)，则lim—=ao二，定理的证明：(1)先考虑当tz=O时的情况—xM由lim””-1二0’可知Vf〉O,3N'，Vh>MHilx«-Xn-l+
3、X"-1_夂-2〉o,于是对于固定的/V,，乂可以取到N〉N'，使得V/7〉':+1ooyXX
4、lim—=lim—+a=a(3)当u=+oo吋，首先37V，V/1〉7V:这说明也严格单调增加，且从〉兄-久可知是正无穷大量将前面的结论应用到^$4,得到X.lim—=limZI—>OOy_YA/lA"-1因而Ylim—=+oooX,(4)对于tz=-oo的情况，证明方法类似。三，Stolz定理在数列极限中的应用定理设仏,:｝是实数列，若Hm(一“(“为冇限，+oo与-co),贝IJlim—=an证明：令/?„=m，由Stolz定理对知litrA二lima”—a,1_'=a。nH-(zt-l)定理设实数列｛人｝，如果么-人_240(M400)则lima,t+=0o证明：lim^±^==lim(
5、^-^_2)=0o,2—(打一1)例定理设数列ki收敛于U（有限或无限），算数平均数列，则nlimbn=ao打一>00证明：令x„=%+屮+•••+A,yn=n,由定理2，ry—rlimbn=lim—=lim—h—>«>z?—yZ7—>«>y一ylim^==D，所以H—>«*>limb"=c“定理已经k｝和队｝是两个实数列，若加^为有限、-OO或+OO,队｝关于n单z/^«>nn调增加且lim久=+00，/^O，贝IJlim^+fZ2+-+fZ—linAo,HCO/?,+/?2+•••+z^°°bn证明：取X,=A+屮+……+么，则A=n，bn=xn-x„_'，姑然，严格增加且趋于+oo。由S
6、tolz定理有limW...+〜=Hmi=limAZ2-=linA。,,->oo41_办"ynxn—xn_xbn可以看出，在求分子，分母为求和型极限时，用Stolz定理及相关推广定理有很大的优越性。Stolz定理在函数极限中的应用定理设函数/(%)在区问(6Z,+oo)上有定义，且在(6Z,+oo)任何有限子区问内均有界;函数g(x)是(tz,+oo)上单调增加的函数，且limg(x)=+oo；lim/^十1)-/⑴存在(有限数，-co或+oo);H+OOg(X+l)-g(X)那么必有lim=lim+1)-，(X)^(x)”一>+~g(x+l)-g(x)证明：设lim/(X+1)-/(X)=A
7、^00g(x+l)-g(x)(1)当A=6Z,6ZG/?时此吋对Vf〉o,3M,>0(M,>a),使当％》紙吋，冇/U+l)-/(x)g(x+l)-g(x)由假设知，函数gU)在[Mp+oo]上单调增加,lfe^(x+l)>
8、)[g(x+2)-g(x+1)]
9、得到(A-f)ka+尺)I⑺]M,+l,z都吋以表示成;c+m.其中XE+l],mGN取我们就有不等式ef(z)-f(x)€A——<—
