洛必达L’Hospital法则

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1、第二节洛必达(L’Hospital)法则洛必达法则是求0/0,∞/∞,0*∞,∞-∞,1∞,00,∞0类型极限的有力工具.定理1(0/0型)假设证明:我们补充定义f(a)=g(a)=0,有在区间[a,x]或[x,a]上应用柯西中值定理定理1又称为洛必达法则洛必达法则是求不定式极限的一个有效方法.掌握这个法则没有什么困难,但是需要注意以下问题:(1)只有不定式极限问题才能够运用洛必达法则,非不定式极限要用四则运算或其他方法.对于不定式极限,若干次运用罗比达法则以后如果已经化为非不定式,就不能继续运用洛必达法则,否则就会出现错误.例1求下列极限解:(1)是0/0型的,用洛必达法则,得到(

2、2)是∞0型的,可以化为0/0型.例2求极限解此0/0型，连用三次洛必达法则可得到结果。在使用洛必达法则时，必须要检查是否是0/0型的。在计算中常犯的错误是没有满足0/0的条件。函数f(x)与g(x)在点a的某邻域内(点a可以除外)都可导,且g’(x)≠0定理2设：例3求函数的极限解：对于其他的形式可以通过恒等变形,化为基本型.可使用洛必达法则求极限.例4求下列极限例5求下列极限:解：(1)令y=xx,则lny=xlnx,再取极限,得到也可以在使用洛必达法则时,如果把等阶无穷小代换,代数,三角运算和洛必达法则结合起来,可以简化运算过程.例6注意(4):洛必达法则使用前后都应注意分离因

3、式,把具有非零极限的因子提出极限号外,并及时求出极限,再对余下未定式求极限.例7求注意(5):有些不定式,运用洛必达法则不能得到结果,但是这不能说明该不定式的极限不存在,因为洛必达法则是极限存在的充分条件.例如当x→∞时,是,但是如果用洛必达法则,则得不出结果显然有.型不定式