儒歇定理的推论推广及应用

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1、第35卷第5期唐山师范学院学报2013年9月Vol.35No.5JournalofTangshanTeachersCollegeSep.2013数学与应用数学研究儒歇定理的推论、推广及应用张庆（唐山师范学院数学与信息科学系，河北唐山063000）摘要：给出了儒歇定理的等价条件及推广形式，讨论了儒歇定理在五个方面的应用。关键词：儒歇定理；零点个数；解析函数中图分类号：O174文献标识码：A文章编号：1009-9115(2013)05-0019-04DOI：10.3969/j.issn.1009-9115.2013.05.006DeductionandExtensionofRouchÉ’sThe

2、oremandItsApplicationsZHANGQing(DepartmentofMathematicsandInformationScience,TangshanTeachersCollege,Tangshan063000,China)Abstract:ThispaperdepictedtheequivalentconditionandextendedformofRouché’stheorem,anddiscussedtheapplicationsofRouché’stheoremin5aspects.KeyWords:Rouché’stheorem;numberofzeros;an

3、alyticfunctions儒歇（Rouche）定理是复变函数论中的一个著名定理，注：条件（2）减弱为“f(z)连续到边界C，且沿C有f(z)0”，在理论和应用上都有着极其重要的地位。利用儒歇定理可则辐角原理的结论仍然成立。[2]以考察函数零点的个数及其分布情况。本文主要探讨应用引理2（经典儒歇（Rouche）定理）设C是一条儒歇定理给出复变函数零点的个数及分布情况的方法以及围线，函数f(z)及(z)满足以下条件：儒歇定理的等价形式和推广形式。（1）f(z)及(z)在C内部均解析，且连续到C；1预备知识（2）在C上f(z)(z)。[1]引理1（辐角原理）设C是一条围线，若函数f(

4、z)那么，满足以下条件：Nf,CNf,C。（1）f(z)在C的内部是亚纯的（即除可能有极点外2儒歇定理的推论与推广解析）；定理1设C是一条围线，函数f(z)及g(z)满足：（2）f(z)在C上解析且不为零；（1）f(z)及g(z)在C的内部均解析，且连续到C；则有（2）在C上f(z)g(z)f(z)。Cargfz则Nf,CPf,C。2Nf,CNg,C。这里Nf,C表示f(z)在C内零点的个数，Pf,C表证明因为f(z)及g(z)在C的内部均解析，所以示f(z)在C内极点的个数。特别地，如果f(z)在C上及Cgzf(z)的内部均解析

5、，且f(z)在C上不为零，则在C内解析，设argfzNf,CC。(z)gzf(z)，2则由条件（2），在C上──────────基金项目：唐山师范学院教学改革研究项目（2012001004）收稿日期：2013-02-21作者简介：张庆（1960-），男，天津人，教授，研究方向为函数论。-19-第35卷第5期唐山师范学院学报2013年9月f(z)g(z)f(z)z，只需证明由引理2，Carg[fzz]=Cargfz22Nf,CNf,C，成立。因为又(z)f(z)gz，f(z)+z=f(z)1(z)

6、，f(z)因此所以Nf,CNg,C。(z)。容易证明经典的儒歇定理与上述定理1是等价的。CCarg[fzz]argfzCarg[1]f(z)由儒歇定理可以得到如下推论：令推论设C是一条围线，函数f(z)、(z)和z满足(z)1，以下条件：f(z)（1）f(z)、(z)和z在C的内部均解析，且连续由条件（2），在C上到C；f(z)(z)，（2）在C上f(z)(z)z。所以那么，(z)，1Nf,CNf,CNf,C。f(z)证明由引理2有：所以Nf,CNf,C，

7、11，Nf,CNf,C，从而所以，(z)arg[1]0，CNf,CNf,CNf,C。f(z)在这个推论中条件（2）可以换成：在C上因此结论成立。f(z)(z)，3儒歇定理的应用且3.1证明代数学基本定理f(z)z，代数学基本定理：任何一个n次多项式n（0aazaza）01nn则结论仍然成立。在复数域中有且只有n个根（重根按重数计）。如果把经