毕业论文--略论儒歇定理

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1、安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文略论儒歇定理摘要：本文论述了儒歇定理的基本内容和一般应用.首先给出了复变函数中的辐角原理，利用辐角原理得出儒歇定理，并通过对儒歇定理的3个条件“①函数、在D内解析且连续到边界C；②在C上，；③D是复平面上的一个有界区域；”分别减弱得到推广的儒歇定理.最后指出儒歇定理在解决根的存在问题上的应用.关键词：辐角原理儒歇定理亚纯函数解析函数零点极点1引言儒歇定理定理是复变函数论中的的重要理论之一.儒歇定理在解决解析函数零点个数以及解决方程在一些区域内根的个数有很广泛的应用，本文通过对儒歇定理的三个条件分别减弱得到的广义儒歇定理，使儒歇定理应用性更广

2、.并且对儒歇定理在解析函数上的应用做了系统的归纳和总结.2关于儒歇定理主要结果及证明2.1辐角原理设D是复平面上的一个有界区域，其边界使C.又设是D内亚纯的函数，它在C上每一点解析，且在在C上没有零点，则这里及分别表示在D内零点及极点的总数，且每个K阶零点或极点分别算作K个零点或极点.表示Z沿C之正方向绕行一周后的改变量，它一定是的整数倍.注：上面条件“在C上每一点解析且不为零”可以减弱为“连续到边界C且沿C有”.2.2主要结果及证明第15页共15页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文由辐角原理可以推出重要的儒歇定理.定理1若D是复平面上的一个有界区域，其边境是C,函数、在D

3、内解析且连续到边界；在C上，；则在D内，与的零点个数（几阶算作几个）相等.证明由假设知与在C的内部解析，且连续到C，在C上有

4、201z2hC0z0zzzzzzzzz在zzzzzzzz这样一来，这两个函数及都满足辐角原理的条件.由于这两个函数在C的内部解析，于是由，下面只要证明由关系式，根据条件在C上，当Z沿C变动时.借助函数将Z平面上的周线C变成平面上的闭曲线.于是全在圆周

5、-1

6、=1的内部.就是说，点不会围着原点=0绕行.故第15页共15页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文，因此与的零点个数相等.由儒歇定理可以得到下面两个定理：定理2若函数在区域D内解析，是的m级零点则对

7、于充分小的，存在，使得对于圆内的每一个A，函数-A在内恰有m个零点.证明是函数的m级零点，由零点孤立性，存在，使得在属于D的闭圆上，除去外没有其他的零点，在上于是对于内的任意A，当时，，即由儒歇定理，-A和，在圆内有相同个数的零点，在内恰有m个零点.定理3若函数列在区域D内是解析的，并且在D内闭一致收敛到不恒为零的函数，是D内可求长简单曲线，其内部属于D，且不经过的零点，则存在正整数N，使得当时，在内部和有相同个数的零点.证明首先，由Weierstrass定理知，在D内是解析的.因为在上不为零，所以第15页共15页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文另一方面，在上一致收敛到，

8、所以存在正整数N，使得当时，在上于是，当时，在上.由儒歇定理，在内部，（）和有相同的零点个数.2.3儒歇定理的推广儒歇定理要求的条件有点苛刻，下面对定理进行了推广，先给出如下定义.定义：对于扩充复平面上的两点a，b，曲线C属于扩充复平面，称C不分割a，b点，是指存在连接a，b的曲线C,使定理4设D是复平面上的一个有界区域，其边界是C.函数、在D内亚纯连续到边界C，在C上没有零点，记，如果L不分割0与∞点，则f与g在D内的零点个数与极点个数之差相等，即证由不分割0与∞点及在C上没有零点可知，在C上，，于是及都满足辐角原理及其注的条件，故有于是只要证又第15页共15页安庆师范学院数学与计算科

9、学学院2010届毕业论文而由不分割0与∞点可得所以此定理的条件与经典儒歇定理的条件相比较弱，可将它的条件适当加强，从而得到下面两个特例.定理5设D是复平面上的有界区域，其边界是C.函数、在D内亚纯连续到边界C，沿C有，，则与在D内的零点个数与极点个数之差相等，即.证由题设条件，函数、在D内亚纯连续到边界C，且沿C有＞0即与在边界C上没有零点.根据条件，当z沿C变动时，曲线全在圆周的内部，而原点又不在圆周内部即不分割0与∞，由定理4知，与在D内的零点个数与极点个数之差相等.定理6设D是复平面上的一个有界区域，其边界是C.函数、在D内解析且连续到边界C，在C上没有零点，记如果L不分割0与∞第

10、15页共15页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文点，则与在D内零点个数相等.证解析函数是亚纯函数的特例，所以有定理6成立.因儒歇定理的条件等价于可见儒歇定理又是本定理的特例.若将条件再加强，则可得到如下两个更强的特例.推论1设D是复平面上的一个有界区域，其边界是C.函数、在D内解析且连续到边界C，在C上没有零点，如果在边界C上，以下条件之一成立（1）；（2）；（3）;（4）;则f与g在D零点个数相等.证只证（1）其它情