用闭区间套定理证明实数完备性中其余五个等价命题

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1、第1卷第2期吕梁学院学报2011年4月Vol．1No．2JournalofLvliangUniversityApr．2011·数学与计算机科学·用闭区间套定理证明实数完备性中其余五个等价命题张颖(吕梁学院数学系，山西离石033000)摘要:在大多数《数学分析》课本中主要采用循环式方法来证明实数完备性的六个等价命题，而用其中的一个命题(即闭区间套定理)来证明其余五个命题成立，能让读者和学生更好地掌握一种证明方法，有效地证明某些具有特殊性质的点的存在性，这为讨论某些特殊点的存在性提供了重要方法，同时这种方法也广泛地运用在科学研究和日常生活中．关键词:区间套;等

2、分;区间中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:2095－185X(2011)02－0007－041实数完备性中六个等价定理(1)闭区间套定理:设闭区间列{［an，bn］}适合下列两条件(i)［an，bn］［an+1，bn+1］，n=1，2，…;(ii)lim(bn－an)=0，则在实数系中存在唯一一点ξ，使得ξ∈［an，bn］，n=1，2，…，即an≤ξ≤bn，n=1，2，…n→∞(2)聚点定理:实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点．(3)有限覆盖定理:设H为闭区间［a，b］的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖［a，b］．(4)

3、确界原理:设S为非空数集，若S有上(下)界，则S有上(下)确界．(5)单调有界定理:在实数系中，有界的单调数列必有极限．(6)柯西收敛准则:数列{an}收敛的充要条件是:对任给的ε＞0，存在正整数N，使得当m，n＞N时有

4、an－am

5、＜ε．2具体证明过程2．1用闭区间套定理证明聚点定理证明S为有界点集，故存在M＞0，使得S［－M，M］，记［a1，b1］=［－M，M］．现将［a1，b1］等分为两个区间．因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此1子区间为［a2，b2］，则［a1，b1］［a2，b2］，且b2－a2=(b1－a1)=M

6、．2将［a2，b2］等分为两个区间．则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记11为［a3，b3］，则［a2，b2］［a3，b3］，且b3－a3=(b2－a2)=M．22将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个闭区间列{［an，bn］}，满足［an，bn］［an+1，bn+1］，n=1，2，…，Mbn－an=n－1→0(n→∞)．2收稿日期:2011-01-12基金项目:吕梁学院校级科研项目(KYY200805)作者简介:张颖(1978－)，女，山西离石人，讲师，主要从事微分方程振动性研究．7即{［an，bn］}是闭区间套，

7、且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点．由闭区间套定理，存在唯一的一点ξ∈［an，bn］，对任给的ε＞0，存在N＞0，当n＞N时有［an，bn］V(ξ，ε)．从而V(ξ，ε)内含有S中无穷多个点，ξ为S的一个聚点．2．2用闭区间套定理证明有限覆盖定理证明假设定理的结论不成立，即不存在H中有限个开区间来覆盖［a，b］．将［a，b］等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖．记这个子区间1为［a1，b1］，则［a1，b1］［a，b］，且b1－a1=(b－a)．2将［a1，b1］等分为两个子区间，其中至少有一个子区间不能用H中有限个

8、开区间来覆盖．记这个子区间1为［a2，b2］，则［a2，b2］［a1，b1］，且b2－a2=2(b－a)．2重复上述步骤，则得到一个闭区间列{［an，bn］}，它满足［an，bn］［an+1，bn+1］，n=1，2，…，1bn－an=n(b－a)→0(n→∞)．2即{［an，bn］}是闭区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖．由闭区间套定理，存在唯一的一点ξ∈［an，bn］，n=1，2，…．由于H是的一个开覆盖，所以存在开区间(α，β)∈H，使ξ∈(α，β)．于是，当n充分大时有［an，bn］(α，β)．则［an，bn］只须用H中一

9、个开区间(α，β)就能覆盖，与假设矛盾．所以从H可选出有限个开区间来覆盖［a，b］．2．3用闭区间套定理证明确界原理证明先证明上界的情形．因为数集S非空，所以可设a1∈S．又因S有上界，不妨设b1为S的一个上界，则a1＜b1．这样便得到一个闭区间［a1，b1］，它具有性质P:(1)在［a1，b1］的右侧没有数集S中的数;(2)在［a1，b1］上至少有数集S中的一个数(如a1);，b］二等分得到两个小区间:aa1+b1a1+b1，这两个闭区间中至少有一个闭区间具将［a11[1，]和[，b1]22a1+b1a1+b1a1+b1有性质P．事实上，闭区间[，b1]

10、满足(1)，若在[，b1]上至少有一个S中的数，则[，b1]具22