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《实数完备性定理等价性的补充证明.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、商洛师专学报自然科汀一立!叨年第期第期∀实数完备性定理等价性的补充证明孙,愁民摘要,虽然许多数学分析教材为了些体的系统性对实数完备性定理做了必要的介绍但,显得不够完善。,∃%()∗,都较简略本文旨在弥补这一缺憾把古朴的#&∋∗+性质与重要的,−.+∗(+连续性定理引入实数完备性基本定理的等价性循环论证中来/∋通过致密性定理0%∗∗2,0∗∗%,,∗∗(,证明#&∋1+性质而后由#&∋1+险质推证−+/∋+连续性定理再根据已有,∗∗(的−+/∋+连续性定理对确界原理的证明给常见的实数完备性定理等价循环圈中补充两,∃兰。个新的成员使人们对实教完
2、冬性定理的认识更尽明燎关键词等价循环日#031.+。,性质−3+∗/∋(+连续性分划拓广&∋,它是所有函实数域的完备粗众人类‘过漫长的历史发展过程逐步总结认识的数分析理论的,、。本质基础由此而建立了极限论微积分学等许多重要的数学成果,儿,,关于实数的完备性位著名数学家从不同角度用不同方法给予了描述在现行的几∃45645405种分析教材中介绍了确界四理单调有界定理.7897闭区间套定理444:;30∗)有限覆盖定理5!<∋∗0,907,,聚点原则5=<∗∋∗0,907,,致密性定理5>4.78%&?收敛准则等七几,鉴本定理,并说明它们之间是彼此等价
3、的,进而给出了它们之,。间的循环论证即由乡6今今:冷!今=今了今的循环圈然而这众多的现行教材都回避了另外两个有关实数完备性的重要定理一个是最古老的对一切有序数域都成立的’—”#0%&∗3,,“∗∗(,∋二+件质一个是被誉为智慧创造物的−+/∋+连续性定理为叙述方便0%∃工∃%3,33(’,后面把#&∋+住质和−+/∋+连续性定理分别记作了和≅∀没有明确指出这两个。,、∃0%%定理与上述七个定理之间的逻辑关系那么自么能够提出这洋灼问题实数的#&∋1+,−%+∗/∋(+连续性定理与其它七个实数完备性基本走理是等价的吗Α性质以及本文试图通过如下逻辑
4、推证经这个问题以肯定的回答。44,=∗∋∗0,907,,了‘0∗∗∗,一<致密性定理今#)∋∋1一+Β土口又即“。”已知任何有界数列必有收敛子数列“7,7,(,(7。”证明对任意两个正数ΧΔΧ∀总存在自然数使ΕΧ∃。0%%3,,7,,证明用反证法反设人)∋3+性质小成立则存在两个正数Χ7ΔΧ∀对。。(备有(7《任意自然数Χ,57。,7,7,,。7,,7,。那么数列王Φ即Γ一⋯有界下界上界Χ∋1一,(7,(/7根据致密性定理知数列ΗΦ中必存亡收敛了列伽时记/令、Ι#∃5于正。。,由极限定义就有数一,,(7一川Δ牛总有在自然数ϑ当/Εϑ时有Φ冬‘
5、‘容易推出一、∃7一#十(/7一,卜7(十57(、7(5ΦΦΦΔ7。Φ一Κ簇Β令才Μ这样的矛盾不等式‘所。以反设错误4·∗(4了Λ40∗∗∗,性质−+“,“连续性定理二#&∋1+懂竺卫任塑三竺竺缪野即王∀“7,Χ“工,,∃,574”已知对任意两正数ΔΧ∀总存在自然数使∀Χ“)∃≅,,∋∀数列Η7∋Φ收敛的充要条件是对任意Ε。有在自然数Ν当(,71一7,∗4”1ΕΕΝ时有ΦΚΔ“4ΠΦ,,证明设Ο是全体实数作成的集合Θ是Ο的一个分划则Π中有最大的实数5,。”Θ中无最小的实数或Θ中有最小的实数Π中无最大的实数∃。,证明设Π一Θ是全体实数集Ο的一个分
6、划由分划的定义知实数Ρ必属于且只属于、,。ΠΘ之一不妨设Ρ任Π4一因为,7,0%,(3+3,,(,Θ非空即存在某一实数任Θ根据#&∋性从总存泊某自然数使·4+Δ((一〔Θ,,,,,一,,所以考察全体自然数6⋯可知有在非负整数二。卜使1任Π41Σ任Θ用同样的思想方法就有Τ而。Θ1Σ扮1Σ宁。Υ一++。Τ而1Σ。、。Θ其中+·Σ“4十一应飞1十(一4井而ςς乳喘护。(,Ψ一6⋯∀是Ρ中某个数字,+。一‘+“(十”十厂Σ一二∗Π一皿十(Ω石而Β一ςΞΖ,。Σ,,山一ς+一+,Χ一1Σ斗十十一丁井了一任Θ(Ι6万价两一ΒΞ,7
7、,))∃容易得到Χ满足里一!∀#。∋(、∃下,‘∗几%&∋日寸!、簇!)%&簇··,∀飞∀,并且,以为对任意巳+(,,,、、当∃一入时出−中所存在某自然数命,。“!、”,!、一!。∋给不等式有..勺&.则可得/0&0一,&3∋1,!,飞!53,!,工∋工下2!所以数列左/满足467收敛准则即数;<硬/收敛议∀一8∀一夕二∃仁一∋9∋:∋∋叮∋、儿。再由式可亨亏,一!犷∗∗∀4只〕∀一。.∃‘一8而且显然地数列王!∀少令∃。=<叮4仁,>,、一单调递增数列谧/单调递减因而有勒.8簇.),、因为?0≅是Α的一个分划所以数8必属于且
8、只属于?≅之一商洛师专学报自然科学版∀ΨΨ年第期总第!期∀浅谈极限概念的建立柳兴哲(摘要本文首先通过数列的一些实例
