数学 学年论文 毕业论文 实数完备性基本定理等价性的证明

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1、实数完备性基本定理等价性的证明摘要本文通过循环证明对实数完备性基本定理的等价性作出了证明.关键词实数完备性基本定理等价性循环证明§1引在这一节，主要对本文所用到的定义，定理及推论作以介绍.定义设闭区间列具有如下性质：（i）,;（ii）=0,则称为闭区间套，或简称区间套.确界原理设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.区间套定理若是一个闭区间套，则在实数中存在唯一的一点，使得即推论若是区间套所确定的点，则对任给的>0，存在N>0，使得当n>N时有.有限覆盖定理设H为闭区间的一

2、个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖.聚点定理实数轴上任一有限无界点集S至少有一个聚点.柯西收敛准则数列收敛的充要条件是：对任给的>0，存在正整数N，使得当n,m>N时有7〈.§2六大基本定理等价性的证明本节就是对六大基本定理等价性的证明.首先列出证明过程的基本框架：确界原理单调有界定理区间套定理柯西收敛准则聚点定理有限覆盖定理下面就是这个循环证明的过程.1由确界原理证明单调有界定理证不妨设为有上界的递增数列.由确界原理，数列有上确界.记a=sup.下面证明a就是的极限.事实上，任给〉0，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得a-〈.又由

3、的递增性，当nN时有a-<.另一方面，由于a是的一个上界，故对一切,都有a

4、不成立，即不能用H中有限个开区间来覆盖.将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为，则，且.再将等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为，则，且.重复上述步骤并不断进行下去，则得到一个闭区间列，它满足.7即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖.由区间套定理，存在唯一的一点,n=1,2,….由于H是的一个开覆盖，故存在开区间H，使.于是，由区间套定理推论，当n充分大时有.这表明只须用H中的一个开区间就能覆盖，与挑选时的假设“不能用H中有限个开

5、区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖.4由有限覆盖定理证明聚点定理证设A为有界无限点集.那么存在正数M>0，使得A.假设中任意点都不是A的聚点，则对任意一点x,必存在相应的>0使得在中至多有A的有限个点.记，则H为A的一个开覆盖.由有限覆盖定理，在H中可以找到有限个开区间覆盖.记为，从而更能覆盖A.因内至多含有A中有限个点，从而A为有限点集，与假设“A是有界无限点集”矛盾.故区间中至少有一个集合A的聚点，即集合A至少有一个聚点.5由聚点定理证明柯西收敛准则证先证条件的必要性：设，则对任意给定的>0,有一正整数N，当k.>N时，有

6、从而当m,n>N时，有7其次，证明条件的充分性：设数列满足条件：对任给正数，总存在某一个自然数N，使得当m,n>N时，都有.取，则存在自然数，当n>时，有,从而,令M=max,则对一切有,即有界.下证有收敛子列.若E=是有限集，则必有一常子列；若E为无限集，则由聚点定理，E有一个聚点A.由聚点定义可证，存在，使.总之，有收敛子列.设，则对任给正数，存在N，当k,m,n>N时，有,.所以当n>N（任取k>N，使）时，有.故.76用数列的柯西收敛准则证明确界原理证设S为原理非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得为S的上界，而不是S的

7、上界，即存在S，使得.分别取,则对每一个正整数n，存在相应的，使得为S的上界，而不是S的上界，故存在，使得.(5)又对正整数m,是S的上界，故有结合（5）式得；同理有.从而得.于是，对任给的，存在N>0，使得当m,n>N时有.由柯西收敛准则,数列收敛.记(6)现在证明就是S的上确界.首先,对任何aS和正整数n有a,由(6)式得a,即是的S一个上界.其次,对任何>0,由及(6)式,对充分大的n同时有.又因不是S的上界,故存在,使得.结合上式得.这说明为S的上确界.同理可证：若S为非空有下界数集,则必存在下确界.7参考文献[1]华东师范大学数学系编《数学分

8、析》高等教育出版社2001年6月第3版[2]复旦大学数学系陈传璋等编《数学分析》高等教育出版社