关于单调有界原理与其它实数连续性定理的等价性

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第8卷第2期驻马店师专学报(自然科学版)Vo1．8No．2l993年5月JournalofZhumadlanTeachersCollegeMay1993一关于单调有界原理与其它实数连续性定理的等价性张炳汉摘要末文直接证日月了单调有界敷列存在极限定理与其它实敷连续性定理的等件性关键调实敷连续性单调有界数列闭区间套有限覆盖~uchy收敛堆则买歌连续性定理常见的主要有如下8个；蚀巨星(1)单调有界数列存在极限定理(1lp单调有界原理)；如果数列{“)单调增加有上界，

2、那么{a)存在极限；如果数列{a)单调下降减少有下界，那么数列{“)存在极限．(2)Dedekind定理；如果(E，)是实数集R的任意分划，则上组E中存在最小数．(3)闭区间套定理；若闭区间列{[，6，])满足；①．，6]3[，62]3⋯3，]⋯{②lim(6一d，)一0，那么存在唯一的数f使露≤z≤6，(H一1，2’．．·，)且I—limb，一f．(4)确界定理；如果非空数集E有上界，那么数集E存在唯一的上确界}如果非空集E有下界，那么数集E存在唯一的下确界．(5)有限覆盖定理；如果开区间集覆盖了有界闭区

3、间，6]，那么中存在有限个开区间也覆盖了，阳，即中存在有限覆盖．．(6)Cauchy收敛准则；{“)存在极限的充要条件是Ve>0，jN，当n，m>N时，有l“一口1O，使对实数x

4、，但它们之间等价性的证明都是采用循环证法(见参考文献[1][2][3])，本文另辟蹊径给出单调有界数列存在极限定理与其则a的井既约元分解式为n—nVa。V⋯Vn(其中某些a,-可能为O)，n的井即约元分解式为n一_lvv⋯v(其中某些可能为O)．参考文献[1]BirkhoffG．Theory，3rded1967．AMSColloq．Pub1．Providence，R．I．[2]王国俊．论Fuzzy辖之构造．敷学学报．1986：(4)．[3]裴礼文．Fuzzy辖的分支构造．模翱丰兢与敷学，1989：(1)(文

5、稿收到日期：l993—03—13)维普资讯http://www.cqvip.com张炳汪：关于单调有界原理与其它实数连续性定理的等价性余7令宴数连续性定理等价的直接证明，从而说明这8个定理等价．[命题1]单调有界数列存在极限定理~：4,Dedekind定理证明见参考文献[3]与I-1]．[命题2]单调有界数列存在极限定理闭区间套定理．证明(1)单调有界数列存在极限定理闭区间套定理．见参考文献I-1]f2)闭区间套定理一单调有界数列存在极限定理、见参考文献r-7]与[1]．[命题3]单调有界数列存在极限定理确

6、界定理．证明(1)单调有界数列存在极限定理一确界定理．见参考文献r-2]．(2)确界定理一单调有界数列存在极限定理．见参考文献r-3]．[命题4]单调有界数列存在极限定理有限覆盖定理．证明(1)单调有界数列存在极限定理一有限覆盖定理．设开区间集s覆盖了闭区间，6]．要证明开区间集中存在有限个开区间便覆盖了，6]．用反证法，假设开区间集中任意有限个开区间都不能覆盖[口．6]，简称，6]在s中没有有限覆盖．将r-a，b]-等分为，+6)／2]与[(n十)／2，6]，则显然其中至少有一个在s中没有有限覆盖．将其中

7、一个没有有限覆盖的小闭区问记为r-a，]．再将该区间二等分为[n，(n+6)／2]与[(n。+61)／Z，b]．同样其中至少有一个在S中没有有限覆盖，将这样的一个记为[嘞，1继续对[n。，b2]二等分，这样无限进行下去，便得到一个闭区间列{，6]}(一0，1，2，⋯，ao—n，6。一6)，显然具有如下性质：(1)．b]D[1，b1]]⋯][“，6]]⋯；(2)lira(6d)一lira(6d)／2一0；⋯一∞(3)每个[n，]在s中都没有有限覆盖．由(1)可知：数列{n1与数列{)都为单调有界数列，据单调有

8、效数列存在极限定理，有lima一，Jimb=．显然，∈r-a，6](n-0，1，2，⋯)．可见l口卢l≤lb一nf=(6)／2一0(”一∞1．故一卢．已知s覆盖[n，6]，因而存在(，叮)Q-S．使口∈(声，g)、由上述(2)易知，存在充分大的自然数n，使(n，)c(．q)，此与．蜘在S中无有限覆盖矛盾故．6]在中存在有限覆盖，这说明有限覆盖定理成立．(2)有限覆盖定理一单调有界数列存在极限定理．不妨设{n)为妨