基于实数连续性定理等价的新探讨.pdf

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1、第24卷第2期锦州师范学院学报(自然科学版)Vol.24No.22003年6月JournalofJinzhouNormalCollege(NaturalScienceEdition)Jun.2003基于实数连续性定理等价的新探讨朱永生,林立军(哈尔滨师范大学呼兰学院数学系,黑龙江呼兰150500)摘要:实数集关于极限的运算是封闭的,这就是实数的连续性;实数的连续性理论是构筑极限理论的重要基础;实数连续性定理虽然数学表现形式不同,但它们都描述了实数的连续性,它们彼此是等价的,即任意一个定理都是其它定理成立的充要条件,另辟蹊

2、径对其等价性进行了新的探讨。关键词:实数连续性;极限;单调有界;闭区间套;确界;有限覆盖;聚点;收敛中图分类号:O174文献标识码:A文章编号:1007-533X(2003)02-0055-02所谓实数是连续的,从几何直观上看,即是直线上的点定理6(致密性定理)有界数列{an}必有收敛的子数列是“连着的”,其间没有“洞”。而有理数就不是连续的,如平方{an}(亦称子列定理)。k小于3的有理数的集合,在有理数集中没有上确界,即:有理定理7(Cauchy收敛原理)数列{an}收敛
>0,数集是有“洞”的,因为3不属于有理数

3、集;而在实数域R!N∈N,n,m>N,有
an-am
<
(亦称完备性定理)。这七个定理的等价性可通过图1所示的方法加以证明。中,平方小于3的实数的集合,在实数域R中有上确界3,即实数域R没有“洞”,实数是连续的。综上所述,严格的数学↓
定义可描述为:所谓实数的连续性,就是实数集关于极限的定理3定理1∀定理2∀↓运算是封闭的。如上例实质就是:limx在有理数集内不x→3-定理4∀定理5∀定理6∀定理7↑
存在极限,而在实数集R中存在极限3。再如单调有界数列{(1+1/n)n}在有理数集内不存在极限,而在实数集R中图1则存

4、在极限e,即实数集关于极限的运算封闭。其中:定理1∀定理2∀实数的连续性是极限理论的基础,而描述实数连续性的定理3这一过程在多数教材上方式有很多,实数连续性定理即为其中的几种表现形式,同定理4∀定理5∀定理6∀定理7时又是构筑极限理论的重要基础。采用一种新的方式,对下都有证明,事实上,只要再由定理3∀定理4与定理7∀定理述七个定理的等价性加以严格的证明,真正从理论上挖掘其1即可证明这七个定理的等价性,但定理7∀定理1这一过等价性的内涵。程证明较难实现,笔者采取了定理3∀定理4,定理7∀定理定理1单调有界数列存在极限定理(

5、公理)。2,定理3∀定理1这一途径(如图1),从而证明了七个定理定理2(闭区间套定理)若有闭区间列{[an,bn]},且的等价性。1)[an,bn]
[an+1,bn+1],n∈N,1定理3∀定理4的证明(用确界定2)lim(bn-an)=0,n→∞理证明有限覆盖定理)则存在唯一数l属于任意一个闭区间[ak,bk],其中:n,k∈N。证法讨论[a,b]内使[a,x](a

6、间[a,b]有有限覆盖。定理4(有限覆盖定理)若开区间集S覆盖闭区间[a,证明设H={x[a,x]具有有限覆盖,a定理5(聚点定理)数轴上有界无限点集E至少有一个a,有x∈,所以H≠。显然,数集H有上界,根据确界定聚点。收稿日期:2002-12-12.作者简介:朱永生(1973-),男,硕士,讲师,从事高校数学教学和研究工作.56锦州师范学院学报(自然科学版)第24卷理,数集H有上确界,设由Cauchy收

7、敛原理可知SupH=!≤b。数列{an},{bn}皆存在极限。存在开区间(p,q)∈S,使!∈(p,q),即pk,有ak≤an≤bn≤bk,盖,即!∈H,下面证明,!=b。从而ak≤liman=l=limbn≤bk则ak≤l≤bk,n→∞n→∞用反证法,假设!

8、