关于实数完备性相关定理等价性的研究

《关于实数完备性相关定理等价性的研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、目录摘要……………………………………………………………………………………1关键词…………………………………………………………………………………1Abstract………………………………………………………………………………1Keywords……………………………………………………………………………1引言……………………………………………………………………………………11.1确界存在定理的证明…………………………………………………………11.2确界存在定理证明单调有界定理……………………………………………31.3单调有界定理证

2、明区间套定理…………………………………………………31.4区间套定理证明有限覆盖定理…………………………………………………41.5有限覆盖定理证明聚点定理…………………………………………………41.6聚点定理证明致密性定理………………………………………………………51.7致密性定理证明柯西收敛准则……………………………………………51.8柯西收敛准则证明确界存在定理……………………………………………6致谢……………………………………………………………………………………7参考文献……………………………………………………………

3、…………………710关于实数完备性相关定理等价性的研究数学与应用数学专业学生xxx指导教师xxx摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理。与之相关的七个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的。本文主要是讨论证明这七个定理的等价性。在这里我们首先论证确界存在定理，然后由此出发依次论证实数系的其它六个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环

4、”。关键词：实数集完备性基本定理等价性证明ResearchabouttheequivalencetheoremsofcompletenessofrealnumbersStudentmajoringinMathematicsandAppliedMathematics.BingLiuTutorShixiaLuanAbstract:Completenessofthesetofrealnumbersisitsbasiccharacter,anditisstabletheorybackgroundofcalculus.Itcanbe

5、describedanddepictedindifferentangles,sothereareconsiderablefundamentaltheoremsaboutit.FundamentalTheoremsofsevenrelatedaboutcompletenessofthesetofrealnumbers，whichareexistencetheoremofsupremum,monotonedefinedmanagement,intervalsequencetheorem,Bolzano-Weierstrasst

6、heorem,convergencepointtheorem,Heine-BoreltheoremandCauchyconvergenceruleareEquivalent.Thispaperistodiscusstheproofoftheequivalenceoftheseventheorems.HerewefirstProvetheexistencetheoremofsupremum,thenprovetheothercorrelativetheoremsbasedofexistencetheoremofsupremu

7、mandformaidealproof“loop”.显示对应的拉丁字符的拼音字典Keywords:setofrealnumbers，completeness，fundamentaltheorem，equivalence，proof.引言：我们知道实数的完备性在理论上有很大的价值，与之相关的七个基本定理从不同的角度描述了实数的基本性质。并且这七个基本定理是相互等价的，在这里我们先证明出实数的确界存在定理，然后以此为基础顺次证明其他的六个定理最后再回到确界存在定理得到一个完美的“环”状结构的证明。本文的论证结构为确界存在定理证

8、明单调有界定理证明区间套定理证明有限覆盖定理证明聚点定理证明致密性定理证明柯西收敛准则证明确界存在定理。1实数完备性相关定理的论证1.1确界存在定理的证明10确界存在定理：有上（下）界的非空子集必有上（下）确界。现证明有上界的非空实数集必有上确界。证明：任意一个实数x可以表示成，其中表示x的整数部分，我