特殊化与一般思想第七篇_解析几何中的特殊化思想_俞新龙

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1、点拨数学有数a，b，c，成等差数列，则cosA+cosC=__________．S3=x13+x23=（x12+x22）（x1+x2）-x1x2（x1+x2）＝S2=（-b）-cS1=-bS2+cS1．1+cosAcosCaaa解析：同学们会由2b=a+c得2sinB=sinA+sinC尝试解本由S3的启示，我们找到了解题的途径，即可沿着这条途径题，立马被否决，思维易停止．本题的一种解法是余弦定理代“进”到Sn，Sn=（x1n-1+x2n-1）（x1+x2）-x1x2（x1n-2+x2n-2）＝S

2、n-1（-b）-cSn-2=-2aa（a+c）+c2-a2b2+c2-a245c-3abS+cS入，cosA==＝，同理cosC=n-1n-2．2bc（a+c）c4ca5a-3c，将两式代入目标式得cosA+cosC＝点评：特殊化情形的解决过程有助于发现或得到一般性4a1+cosAcosC问题的解法．42+10ac-3c2）4（-3a＝，计算、化简要求较高，而如果同学-15a2+50ac-15c25第七篇：解析几何中的特殊化思想们想到用特殊三角形来解，则比较方便，如可以是边长为3、解析几何是高中数

3、学的重点和热点内容之一，繁杂的计4、5的直角三角形，当然取正三角形是最简单的，算、平面几何性质的应用和较高的分析问题能力一直是同学cosA+cosC14＝＝．1+cosAcosC15们最头痛的，但是，如果我们能够合理利用好特殊化思想，1+4则解决问题也会有“小菜一碟”的感觉．点评：显然特殊法中“特殊”的程度会影响解题的快慢，一、根据所求结果的个数来巧妙解题所以，用特殊法解题时应尽可能取最特殊的情况．例1．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1，0），（3，0），（1，-5），则第四个点的坐标为（

4、）第六篇：数列中的特殊化思想A．（1，5）或（5，-5）B．（1，5）或（-3，-5）数列是一种具有递推关系的量，给人的感觉是“无穷无C．（5，-5）或（-3，-5）D．（1，5）或（-3，-5）或（5，-5）尽”，容易造成难解题的错觉．其实如果能够从特殊化思想考虑解析：设第四个点的坐标为D（x，y），记A（-1，0），B（3，0），C便能马到成功．≠≠≠≠（1，-5），则当AB为对角线时有(解法1)：AD=CB，即（x+1，y）＝一、取特殊值来巧妙解题（2，5），所以x＝1，y＝5；(解法2)：

5、AB中点与CD中点重合，即-1+3=例1．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成x+1，0+0=y+（-5）所以x＝1，y＝5，所以第四个点的坐标为（1，5）．ac等差数列，则+＝（）用同样的方法可以求得当AC为对角线、BC为对角线时xy第四个点的坐标为（-3，-5）、（5，-5）．A．1B．2C．3D．4但实际上，我们可以从判断A、B、C、D四个选择项的点2ac解析：本题常规解法是由b=ac，2x=a+b，2y=b+c得+xy的个数上直接给出答案D，因为根据三个顶点的坐标可以作

6、三个2a2c2ab+4ac+2bc4b2+2b（a+c）平行四边形，因此第四个点应该有三种情况，而只有D是三种．=+=＝＝2，但不如用特殊化a+bb+cac+22（a+c）b+b2b+（a+c）b二、根据特殊位置来巧妙解题思想来得简捷，若取a＝1，b＝2，c＝4，则x=3，y=3，故a+c=2+例2．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P，2xy3114Q两点，若线段PF与QF的长分别是p，q则+等于（）=2，当然取a＝b=c＝1时可更简洁直观得结果，故选B．pq314例2．等差

7、数{an}列中，am=n，an=m（m≠n），则它的第m+n项A．2aB．2aC．4aD．a为（）解析：许多同学在做这题时都用常规方法求解，因此比较A．mnB．m+nC．m-nD．0费时，可以说是“小题大做”．其实，该问题我们只要考虑它的解析：常规方法为由公差d=am-an=-1，得am+n=am+nd=0，1m-n一种特殊情形即可，即当PQ∥x轴时的情形，此时p＝q＝，2a但特殊化思想的应用则更胜许多，若不妨取m=1，n=2，则11从而＋＝4a，选C．当然也可以考虑PQ的极限位置y轴．a1=2，

8、a2=1，故a3=0，选D．pq二、从特殊情形解决中感悟一般解法x2y2例3．已知P、Q是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上的两点，a2b2例3．已知二次方程ax2+bx+c=0的两根n次方的和为S，n若连结A（－a，0）与Q的直线平行于直线OP，且与y轴交于求证：Sn=-bSn-1+cSn-2（n＝3，4，5，…）．aA≠≠Q·A≠≠R点R，则的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（O为坐标原点）解析：同学们直接找出该题的解法一般是非常困难的，≠≠2OP但我们可以从n=3的这种特殊情形的解决