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1、例谈特殊化思想的解题功能江苏省海门师范学校（226100）何军事物的共性寓于个性之中，特殊化思想就是从特殊的、具体的情况出发，去探求问题的一般性结论和规律，其特点是以退为进，先退后进，退中求进，其作用是暗示解题方向，寻找解题途径，以至直接解答问题。在教学中，可以从以下几个方面开发特殊化思想的解题功能。1．考察特殊情形直接求出解答运用某些条件去求特殊元素，或运用某些元素的特殊情形，可迅速、直接地求解。例1．证明：cn0c1ncn2cnn2n分析与解：在二项式定理(ab)ncn0anc1nan1bcn2an2
2、b2cnnbn中，a、b取特殊值1，即有：cn0c1ncn2cnn2n例2．已知存在整数a,b,c使等式(xa)(x2003)1(xb)(xc)对任意实数x都成立，求2abc的值。分析与解：若按常规方法来解此题，有无从下手之感，如果用特殊化方法，考察特殊情形，分别令xa,2003,b,c来尝试，则问题可以直接求出解答。令xa，则(aa)(a2003)1(ab)(ac)所以(ab)(ac)1因为a,b,c为整数，所以ab,ac也为整数，故ab1或ab1ac1ac1所以2abc2或2abc2，从而可得2abc
3、22．挖掘特殊因素否定虚假命题有些命题的条件和结论看似美观，似乎是真命题，但形式上美好的命题未必都是真的，可以挖掘特殊命题中的特殊因素，否定虚假命题。1例3．已知：a,b,c是三角形的边，若abc，则a2b2c2。评析：众所周知，abc这个不等式对于任意三角形都成立。但是在以a为斜边的直角三角形中，只有a2b2c2成立，而a2b2c2不成立，可见该命题是个假命题。3．优选特殊元素筛选正确答案解答选择题和填空题时，如果注意优选特殊元素，筛选正确答案，往往可以达到事半功倍的效果。例4．已知实数a,b,c满足a
4、2bc8a70）bcbc6a6那么a的取值范围是（0（A）0,7（B）1,9（C）,19,（D）,分析与解：取与选择支有关的特殊值a0代入已知条件，得bc7,b2c2bc6∴b2c213，这就表明a0不属于取值范围。这样，就可以排除选择支（A），（C），（D）。所以选择支（B）必为正确答案。4．考虑特殊对象探求问题定值对于结论未知的探索性证明题，可以先考虑特殊对象，探求问题定值。例5．若从正方形ABCD的外接圆的AD上任意一点P向四个顶点引连线（如图），则（PA+PC）∶PB为一定值。P分析与解：这里（P
5、A+PC）∶PB为定值，AD是多少呢？这时对于点P考虑特殊位置若点P在点A的位置上，则有（PA+PC）∶PB=2，（下面略）。BC例6．化简cos2(A15)cos2(A-15)-cos30cos2A后得()（A）1（B）-1（C）12（D）-12分析与解：由选择支知道原式化简后是一个与A无关的定值,所以令A=152232原式31，∴A正确.。1225．解决特殊问题暗示解题思路当复或模糊，可以从特殊的情形入手先提出一个更、更具体的新，通新的解决来促原的解决。例7．已知xi0(i1,2,⋯,n)，且x1x2
6、⋯xn1，求：1x1x2xnn分析与解：先解决特殊，n1成立。n2，因x10，x20，x1x21，2x1x2x1x2121x1x2x1x22x1x22于是可得下面的法：由02xixjxixj，有02xixj(n1)(x1x2xn)1ijnnn2xkxixjn即1∴12xknk11ijnk1∴1x1x2xnn6．探索特殊规律猜想一般结论当命中的律不明，可以从特例入手，探索特殊律，猜想一般。例8．数列an中，已知a11，an1ann1，求数列的通an。a22分析与解：是一个构比复的求数列的通公式的，不妨先考察
7、数列的前几，探索特殊律，有a11，a21，a31，a41，a51。371531不，数列的前五都可以用分数表示，它的分子都是1，分母分是21，221，231，241，251，由此猜想一般，数列的通公式可能是an1（下面略）。2n17．运用特殊关系简化运算过程有些，通挖掘目中的特殊关系，可避免分，或回避繁运3算，简化运算过程。例9．设0x1，a0，a，比较loga1x与loga1x的大小。1分析与解：这道题若作差或作商比较都有较强的变换技巧，要么可以分类讨论，但如果注意到加法运算的符号法则这一特殊关系在比较绝
8、对值大小的特殊作用，可得非常简捷的解法,因为loga1xloga(1x)loga(1x2)，又loga1x与loga(1x)异号，与loga(1x2)同号，所以loga1x>loga1x8．关注特殊视角转化等价问题一些看似繁杂的问题，可以根据题目特点，挖掘特殊功能，转换问题视角，将原问题转化为简单、易行的等价问题。例10．解方程x323x23x310分析与解：乍一看，似乎无从下手，可以转变观察问题的角度，关注特殊视角，反客为主
